原码，补码，反码，真值

注：之前查找了关于原码、反码、补码的相关资料，张子秋的博客：原码, 反码, 补码 详解讲的比较透彻。为了方便，现将其转载至此，版权归原作者所有。更加深入的分析，可以参考作者的原文。

本文大部分内容来源于此。后面有小部分关于“大数溢出”的问题为本人补充。

作者：张子秋 
出处：http://www.cnblogs.com/zhangziqiu/

机器数和真值

机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

真值

因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

原码

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

[+1]原 = 0000 0001

[-1]原 = 1000 0001

第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:

[1111 1111 , 0111 1111]，即：

[-127 , 127]

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.

反码

反码的表示方法是：正数的反码是其本身；的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反。

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反

可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算。

补码

补码的表示方法是：正数的补码就是其本身；的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.

为何要使用原码, 反码和补码

在开始深入学习前, 我的学习建议是先”死记硬背”上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.

现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

所以不需要过多解释. 但是对于负数:

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?

首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别”符号位”显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码。计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

为了解决原码做减法的问题, 出现了反码。计算十进制的表达式:

1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) 
= [0000 0001]原 + [1000 0001]原 
= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 
= [1111 1111]反 = [1000 0000]原 
= -0

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在”0”这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.

于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1) 
= [0000 0001]原 + [1000 0001]原 
= [0000 0001]补 + [1111 1111]补 
= [0000 0000]补=[0000 0000]原

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 
= [1111 1111]补 + [1000 0001]补 
= [1000 0000]补

-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)

使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.

补码表示的溢出问题

以下是本人的补充的理解，不知道是否正确：

由于计算机中的数字用补码表示，例如8bit的byte类型的表示范围为：

[-128, 127]

0 = [0000 0000]（补）

-128 = [1000 0000]（补）

127 = [0111 1111]（补）

当byte类型的变量超上限127时，如：

+128 = -（-128）= 127 + 1 
= [1111 1111]（补）+ [0000 0001]（补） 
= [1000 0000]（补） 
= -128

+129 = 127 + 2 
= [1111 1111]（补）+ [0000 0001]（补） 
= [1000 0001]（补） 
= [1111 1111]（原） 
= -127

当byte类型的变量超过下限-128时：

-129 = -128 - 1 
= [1000 0000]（补) - [0000 0001]（补） 
= [0111 1111]（补） 
= 127

-130 = -128 - 2 
= [1000 0000]（补) - [0000 0010]（补） 
= [0111 1110]（补） 
= 126

byte a = -128, b = (byte) 128, c = (byte) 129, d = (byte) 130;
byte e = (byte) -129, f = (byte) -130;
System.out.println(a == ((byte)-a));    // true
System.out.println(b);  // -128
System.out.println(c);  // -127
System.out.println(d);  // -126
System.out.println(e);  // 127
System.out.println(f);  // 126

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8

大数溢出问题

int类型在32位系统中占4个字节、32bit，补码表示的的数据范围为：

[10000000 00000000 00000000 00000000] ~ [01111111 11111111 11111111 11111111]

[−231,231−1][−231,231−1]

[-2147483648, 2147483647]

在java中表示为：

[Integer.MIN_VALUE, Integer.MAX_VALUE]

与byte类型的表示一样，由于负数比正数多表示了一个数字。对下限去相反数后的数值会超过上限值，溢出到下限，因此下限的相反数与下限相等；对上限去相反数的数值为负值，该负值比下限的负值大1，在可以表示的范围内，因此上限的相反数是上限直接取负值。

// 2147483647   [01111111 11111111 11111111 11111111]
System.out.println(Integer.MAX_VALUE);      

// -2147483648  [10000000 00000000 00000000 00000000]
System.out.println(Integer.MIN_VALUE);

// -2147483647      正常
System.out.println(-Integer.MAX_VALUE);     

// -2147483648  2147483648，超过上限，发生溢出
System.out.println(-Integer.MIN_VALUE);     

// true，2147483648 发生溢出
// 对下限去相反数后的数值会超过上限值，溢出到下限，因此下限的相反数与下限相等
System.out.println((Integer.MIN_VALUE == -Integer.MIN_VALUE));  

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9
• 10
• 11
• 12
• 13
• 14
• 15

这个特点在进行大数溢出判断时会用到，例如JKD源码中字符串转化为int类型的函数，Integer.parseInt(String str)中，只能使用对上限取反Integer.MAX_VALUE当成负数累减，而不能对下限取反Integer.MIN_VALUE当成正数累加。

Integer.parseInt(String str)源码：

public static int parseInt(String s) throws NumberFormatException {
      return parseInt(s,10);
}

// radix是进制表示
public static int parseInt(String s, int radix)
                throws NumberFormatException
    {
        /*
         * WARNING: This method may be invoked early during VM initialization
         * before IntegerCache is initialized. Care must be taken to not use
         * the valueOf method.
         */

        if (s == null) {
            throw new NumberFormatException("null");
        }

        if (radix < Character.MIN_RADIX) {
            throw new NumberFormatException("radix " + radix +
                                            " less than Character.MIN_RADIX");
        }

        if (radix > Character.MAX_RADIX) {
            throw new NumberFormatException("radix " + radix +
                                            " greater than Character.MAX_RADIX");
        }

        int result = 0;
        boolean negative = false;
        int i = 0, len = s.length();
        int limit = -Integer.MAX_VALUE;  // 对上限取反不会溢出
        int multmin;
        int digit;

        if (len > 0) {
            char firstChar = s.charAt(0);
            if (firstChar < '0') { // Possible leading "+" or "-"
                if (firstChar == '-') {
                    negative = true;
                    limit = Integer.MIN_VALUE;
                } else if (firstChar != '+')
                    throw NumberFormatException.forInputString(s);

                if (len == 1) // Cannot have lone "+" or "-"
                    throw NumberFormatException.forInputString(s);
                i++;
            }
            multmin = limit / radix;
            while (i < len) {
                // Accumulating negatively avoids surprises near MAX_VALUE
                digit = Character.digit(s.charAt(i++),radix);
                if (digit < 0) {
                    throw NumberFormatException.forInputString(s);
                }

                // 除以10必须放在不等式右侧防止左侧溢出
                // 如果满足条件，说明 result*radix不会发生溢出
                if (result < multmin) {
                    throw NumberFormatException.forInputString(s);
                }
                result *= radix;

                // digit必须放在不等式右侧防止左侧溢出，判断防止最终溢出
                // 如果满足条件说明 result-digit不会发生溢出
                if (result < limit + digit) {
                    throw NumberFormatException.forInputString(s);
                }

                // 当成负数累减
                result -= digit; 
            }
        } else {
            throw NumberFormatException.forInputString(s);
        }
        return negative ? result : -result;
    }

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9
• 10
• 11
• 12
• 13
• 14
• 15
• 16
• 17
• 18
• 19
• 20
• 21
• 22
• 23
• 24
• 25
• 26
• 27
• 28
• 29
• 30
• 31
• 32
• 33
• 34
• 35
• 36
• 37
• 38
• 39
• 40
• 41
• 42
• 43
• 44
• 45
• 46
• 47
• 48
• 49
• 50
• 51
• 52
• 53
• 54
• 55
• 56
• 57
• 58
• 59
• 60
• 61
• 62
• 63
• 64
• 65
• 66
• 67
• 68
• 69
• 70
• 71
• 72
• 73
• 74
• 75
• 76
• 77
• 78
• 79

目录