原码反码补码

于是人们开始探索将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码。计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

为了解决原码做减法的问题, 出现了反码。计算十进制的表达式:

1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1)
= [0000 0001]原 + [1000 0001]原
= [0000 0001]反 + [1111 1110]反
= [1111 1111]反 = [1000 0000]原
= -0

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在”0”这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.

于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1)
= [0000 0001]原 + [1000 0001]原
= [0000 0001]补 + [1111 1111]补
= [0000 0000]补=[0000 0000]原

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原
= [1111 1111]补 + [1000 0001]补
= [1000 0000]补

-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)

使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.

为什么计算机中通常使用补码的形式来表示一个数？

用补码来表示负数就可以将加减法统一成加法来运算，简化了运算的复杂程度。
采用补码进行运算有两个好处，一个就是刚才所说的统一加减法；二就是可以让符号位作为数值直接参加运算，而最后仍然可以得到正确的结果符号，符号位无需再单独处理。

大数溢出问题

int类型在32位系统中占4个字节、32bit，补码表示的的数据范围为：

[10000000 00000000 00000000 00000000] ~ [01111111 11111111 11111111 11111111]

[−231,231−1]

[-2147483648, 2147483647]

在Java中表示为：

[Integer.MIN_VALUE, Integer.MAX_VALUE]

与byte类型的表示一样，由于负数比正数多表示了一个数字。对下限去相反数后的数值会超过上限值，溢出到下限，因此下限的相反数与下限相等；对上限去相反数的数值为负值，该负值比下限的负值大1，在可以表示的范围内，因此上限的相反数是上限直接取负值。

// 2147483647 [01111111 11111111 11111111 11111111]

System.out.println(Integer.MAX_VALUE);

// -2147483648 [10000000 00000000 00000000 00000000]

System.out.println(Integer.MIN_VALUE);

// -2147483647 正常

System.out.println(-Integer.MAX_VALUE);

// -2147483648 2147483648，超过上限，发生溢出

System.out.println(-Integer.MIN_VALUE);

// true，2147483648 发生溢出

// 对下限去相反数后的数值会超过上限值，溢出到下限，因此下限的相反数与下限相等

System.out.println((Integer.MIN_VALUE == -Integer.MIN_VALUE));