【Gurobi学习笔记】翻转游戏（Flip Game）：数学模型与Python调用Gurobi实现

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前言

翻转游戏（Flip Game）, 是20世纪90年代开始流行的一款电子游戏。该游戏由一个5*5的网格组成，每格里有一个圈。 游戏的初始状态是，25个圈中的颜色相同。点击任意一个圈将使得它和相邻格子的圈改变颜色。游戏的目标是用尽可能少的点击数让所有圈都变色。

举一个Flip Game的例子，来帮助理解游戏规则：
初始状态：

点击（3，3）：

点击（3，1）：

本文来介绍如何使用数学规划的方法来解决Flip Game。本文的主要内容如下：

1. Flip Game的问题描述；
2. Flip Game的数学规划模型；
3. Python调用Gurobi求解Flip Game的模型。

问题描述

Flap Game的问题描述如下：

给定一个5*5的方格矩阵，其中格子中的圈两面颜色不同，比如要么绿色朝上，要么红色朝上，初始的圈颜色都相同。点击圈可以进行翻转，改变颜色，同时也会改变所有邻格的颜色。游戏的目的是：

1. 使所有圈与初始颜色不同；
2. 尽可能少的点击数。

数学模型

Flip Game可以被构建为整数规划，并使用求解器求解。本节就来介绍Flip Game的数学规划模型。

1.整理数据和参数

• 5 ∗ 5 网格

2.定义决策变量

• 决策：点击哪一个格子
• 变量：$x_{i,j}(i,j=1,2,\dots ,5)$
• =1 如果$(i,j)$被点，否则为0
• 类型：0-1

3.构建目标函数

• 最小化点击数
• min${\sum }_{i,j=1,\dots ,5}{x}_{i,j}$

4.设置约束条件

• 用逻辑约束来表达更简单
• $x_{i,j}+x_{i-1,j}+x_{i+1,j}+x_{i,j-1}+x_{i,j+1}$为奇数, $\forall i,j=1,\dots ,5$
• $x_{i,j}=0,\forall i,j<1$ 或 $i,j>5$

如何将上述约束转化为数学形式呢？

• 引入辅助变量$y_{i,j}$
• $0\le y_{i,j}\le 2,y_{i,j}$ 为整数, $\forall i,j=1,\dots ,5$
• $x_{i,j}+x_{i-1,j}+x_{i+1,j}+x_{i,j-1}+x_{i,j+1}=2y_{i,j}+1,\forall i,j=1,\dots ,5$

5.模型建立

基于上述过程，我们给出Flip Game的数学规划模型。
$\begin{array}{rl}& \min \sum _{i,j=1,\dots ,5}{x}_{i,j}\\ & \text{ s.t. }{x}_{i,j}+x_{i-1,j}+x_{i+1,j}+x_{i,j-1}+x_{i,j+1}=2y_{i,j}+1,\forall i,j=1,\dots ,5\\ & 0\le y_{i,j}\le 2,y_{i,j}\text{为整数, }\forall i,j=1,\dots ,5\\ & x_{i,j}=0\text{，否则}\\ & \end{array}$

Python调用Gurobi求解

我们给出使用Python调用Gurobi求解上述整数规划模型的代码：

import gurobipy as gp
from gurobipy import GRB

# create the model object
model = gp.Model("Flap Game")

# define decision variables
x = {
    
    }
y = {
    
    }
for i in range(0, 7):
    for j in range(0, 7):
        if i < 1 or i > 5 or j < 1 or j > 5:
            x[i, j] = model.addVar(vtype=GRB.BINARY, ub=0, name=f"x_{
      
      i}_{
      
      j}")
        else:
            x[i, j] = model.addVar(vtype=GRB.BINARY, name=f"x_{
      
      i}_{
      
      j}")
            y[i, j] = model.addVar(lb=0, ub=2, vtype=GRB.INTEGER, name=f"y_{
      
      i}_{
      
      j}")

# set the objective function
model.setObjective(gp.quicksum(x[i, j] for i in range(1, 6) for j in range(1, 6)), GRB.MINIMIZE)

# add the constraint x[i, j] + x[i-1, j] + x[i+1, j] + x[i, j-1] + x[i, j+1] = 2*y[i, j] + 1
for i in range(1, 6):
    for j in range(1, 6):
        model.addConstr(x[i, j] + x[i-1, j] + x[i+1, j] + x[i, j-1] + x[i, j+1] == 2*y[i, j] + 1)

# optimize the model
model.Params.outputFlag = 0
model.optimize()

# print the results
if model.status == GRB.OPTIMAL:
    print("Optimal objective value:", model.objVal)
    print("Optimal solution:")
    for i in range(1, 6):
        for j in range(1, 6):
            print(f"x_{
      
      i}_{
      
      j} = {
      
      x[i, j].x}, y_{
      
      i}_{
      
      j} = {
      
      y[i, j].x}")
else:
    print("No optimal solution found.")

求解结果如下：

Optimal objective value: 15.0
Optimal solution:
x_1_1 = -0.0, y_1_1 = 0.0
x_1_2 = 1.0, y_1_2 = 1.0
x_1_3 = 1.0, y_1_3 = 1.0
x_1_4 = 0.0, y_1_4 = 1.0
x_1_5 = 1.0, y_1_5 = 0.0
x_2_1 = 0.0, y_2_1 = -0.0
x_2_2 = 1.0, y_2_2 = 1.0
x_2_3 = 1.0, y_2_3 = 2.0
x_2_4 = 1.0, y_2_4 = 1.0
x_2_5 = 0.0, y_2_5 = 1.0
x_3_1 = -0.0, y_3_1 = -0.0
x_3_2 = 0.0, y_3_2 = 1.0
x_3_3 = 1.0, y_3_3 = 1.0
x_3_4 = 1.0, y_3_4 = 2.0
x_3_5 = 1.0, y_3_5 = 1.0
x_4_1 = 1.0, y_4_1 = 1.0
x_4_2 = 1.0, y_4_2 = 1.0
x_4_3 = 0.0, y_4_3 = 1.0
x_4_4 = 1.0, y_4_4 = 1.0
x_4_5 = 1.0, y_4_5 = 1.0
x_5_1 = 1.0, y_5_1 = 1.0
x_5_2 = 1.0, y_5_2 = 1.0
x_5_3 = 0.0, y_5_3 = -0.0
x_5_4 = 0.0, y_5_4 = -0.0
x_5_5 = 0.0, y_5_5 = 0.0

可以看出，该模型有解，我们求出了来赢得游戏最优的点击策略。

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总结

本文介绍了Flip Game的数学规划模型，并给出了Python调用Gurobi求解Flip Game的数学规划模型的完整代码。笔者并未进行游戏验证，因为笔者水平有限，如果模型和代码有误，还请批评指正。