二次规划ST速度优化

原地址：https://daobook.github.io/apollo/docs/specs/qp_spline_st_speed_optimizer_cn.html

本文是Apollo早期速度优化的原理。

1 定义

从二次规划样条路径中选取一条路径后，Apollo将路线上的所有障碍物和自动驾驶车辆（ADV）展现在一个时间-路径图上（path-time ST），该路径图表示了路径上的站点变化。速度优化的任务是在ST图上找到一条合理的，无障碍的路径。

Apollo使用多个样条来表示速度参数，在ST图上表示为一系列的ST点。Apollo会对二次规划的结果做再次的平衡以获得最佳的速度参数。QP问题的标准类型定义为：

$\frac{1}{2} \cdot x^T \cdot H \cdot x + f^T \cdot x \\ s.t. LB \leq x \leq UB \\ A_{eq}x = b_{eq} \\ Ax \leq b$

2 目标函数

2.1 获取样条段

将路ST速度参数分为 n 段，每段路径用一个多项式来表示。

2.2 定义样条段函数

每个样条段 i 都有沿着参考线的累加距离 $d_i$ 。每段的路径默认用5介多项式表示。多项式介数可以通过配置参数进行调整。

$f_i(t) = a_{0i} + a_{1i} \cdot t + a_{2i} \cdot t^2 + a_{3i} \cdot t^3 + a_{4i} \cdot t^4 + a_{5i} \cdot t^5$

2.3 定义样条段优化函数

Apollo首先定义 $cost_1$ 以使路径更加平滑：

$cost_1 = \sum_{i=1}^{n} \Big( w_1 \cdot \int\limits_{0}^{d_i} (f_i')^2(s) ds + w_2 \cdot \int\limits_{0}^{d_i} (f_i'')^2(s) ds + w_3 \cdot \int\limits_{0}^{d_i} (f_i^{\prime\prime\prime})^2(s) ds \Big)$

然后，Apollo定义 $cost_2$ 表示最后的S-T路径和S-T巡航路径（有速度限制且m个点）的差值：

$cost_2 = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\Big(f_i(t_j)- s_j\Big)^2$

同样地，Apollo定义了 $cost_3$ 表示第一个S-T路径和随后的S-T路径（o个点）的差值：

$cost_3 = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{o}\Big(f_i(t_j)- s_j\Big)^2$

最后得出的目标函数为：

$cost = cost_1 + cost_2 + cost_3$

3 约束条件

3.1 初始点约束

假设第一个点是( $t 0$ , $s 0$ )，且 $s 0$ 在路径 $f_i(t)$ , $f^{'} i (t)$ , 和 $f_i(t)''$ 上（位置、速率、加速度）。Apollo将这些约束转换为QP约束的等式为：

$A_{eq}x = b_{eq}$

3.2 单调约束

路线必须是单调的，比如车辆只能往前开。

在路径上采样 m 个点，对每一个 $j$ 和 $j - 1$ 的点对，且( $j\in[1,...,m]$ )，如果两个点都处在同一个样条 $k$ 上，则：

$\begin{vmatrix} 1 & t_j & t_j^2 & t_j^3 & t_j^4&t_j^5 \\ \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} a_k \\ b_k \\ c_k \\ d_k \\ e_k \\ f_k \end{vmatrix} > \begin{vmatrix} 1 & t_{j-1} & t_{j-1}^2 & t_{j-1}^3 & t_{j-1}^4&t_{j-1}^5 \\ \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} a_{k} \\ b_{k} \\ c_{k} \\ d_{k} \\ e_{k} \\ f_{k} \end{vmatrix}$

如两个点分别处在不同的样条 $k$ 和 $l$ 上，则：

$\begin{vmatrix} 1 & t_j & t_j^2 & t_j^3 & t_j^4&t_j^5 \\ \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} a_k \\ b_k \\ c_k \\ d_k \\ e_k \\ f_k \end{vmatrix} > \begin{vmatrix} 1 & t_{j-1} & t_{j-1}^2 & t_{j-1}^3 & t_{j-1}^4&t_{j-1}^5 \\ \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} a_{l} \\ b_{l} \\ c_{l} \\ d_{l} \\ e_{l} \\ f_{l} \end{vmatrix}$

3.3 平滑节点约束

该约束的目的是使样条的节点更加平滑。假设两个段 $seg_k$ 和 $seg_{k+1}$ 互相连接，且 $seg_k$ 的累计值 s 为 $s_k$ 。计算约束的等式为：

$f_k(t_k) = f_{k+1} (t_0)$

即：
$\begin{vmatrix} 1 & t_k & t_k^2 & t_k^3 & t_k^4&t_k^5 \\ \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} a_{k0} \\ a_{k1} \\ a_{k2} \\ a_{k3} \\ a_{k4} \\ a_{k5} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & t_{0} & t_{0}^2 & t_{0}^3 & t_{0}^4&t_{0}^5 \\ \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} a_{k+1,0} \\ a_{k+1,1} \\ a_{k+1,2} \\ a_{k+1,3} \\ a_{k+1,4} \\ a_{k+1,5} \end{vmatrix}$

然后，
$\begin{vmatrix} 1 & t_k & t_k^2 & t_k^3 & t_k^4&t_k^5 & -1 & -t_{0} & -t_{0}^2 & -t_{0}^3 & -t_{0}^4&-t_{0}^5\\ \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} a_{k0} \\ a_{k1} \\ a_{k2} \\ a_{k3} \\ a_{k4} \\ a_{k5} \\ a_{k+1,0} \\ a_{k+1,1} \\ a_{k+1,2} \\ a_{k+1,3} \\ a_{k+1,4} \\ a_{k+1,5} \end{vmatrix} = 0$

等式中得出的结果为 $t_0$ = 0。

同样地，为下述等式计算约束等式：

$f'_k(t_k) = f'_{k+1} (t_0) \\ f''_k(t_k) = f''_{k+1} (t_0) \\ f'''_k(t_k) = f'''_{k+1} (t_0)$

3.4 点采样边界约束

在路径上均匀的取样 m 个点，检查这些点上的障碍物边界。将这些约束转换为QP约束不等式，使用不等式：

$\leq b$

首先基于道路宽度和周围的障碍物找到点 $s_j, l_j)$ 的下边界 $l_{lb,j}$ ，且 $j\in[0, m]$ 。计算约束的不等式为：

$\begin{vmatrix} 1 & t_0 & t_0^2 & t_0^3 & t_0^4&t_0^5 \\ 1 & t_1 & t_1^2 & t_1^3 & t_1^4&t_1^5 \\ ...&...&...&...&...&... \\ 1 & t_m & t_m^2 & t_m^3 & t_m^4&t_m^5 \\ \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} a_i \\ b_i \\ c_i \\ d_i \\ e_i \\ f_i \end{vmatrix} \leq \begin{vmatrix} l_{lb,0}\\ l_{lb,1}\\ ...\\ l_{lb,m}\\ \end{vmatrix}$

同样地，对上边界 $l_{ub,j}$ ，计算约束的不等式为：

$\begin{vmatrix} 1 & t_0 & t_0^2 & t_0^3 & t_0^4&t_0^5 \\ 1 & t_1 & t_1^2 & t_1^3 & t_1^4&t_1^5 \\ ...&...&...&...&...&... \\ 1 & t_m & t_m^2 & t_m^3 & t_m^4&t_m^5 \\ \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} a_i \\ b_i \\ c_i \\ d_i \\ e_i \\ f_i \end{vmatrix} \leq -1 \cdot \begin{vmatrix} l_{ub,0}\\ l_{ub,1}\\ ...\\ l_{ub,m}\\ \end{vmatrix}$

3.5 速度边界优化

Apollo同样需要建立速度限制边界。

在st曲线上取样 m 个点，为每个点 $j$ 获取速度限制的上边界和下边界，例如 $v{ub,j}$ 和 $v{lb,j}$ ，约束定义为：

$f'(t_j) \geq v_{lb,j}$
即：
$\begin{vmatrix} 0& 1 & t_0 & t_0^2 & t_0^3 & t_0^4 \\ 0 & 1 & t_1 & t_1^2 & t_1^3 & t_1^4 \\ ...&...&...&...&...&... \\ 0& 1 & t_m & t_m^2 & t_m^3 & t_m^4 \\ \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} a_i \\ b_i \\ c_i \\ d_i \\ e_i \\ f_i \end{vmatrix} \geq \begin{vmatrix} v_{lb,0}\\ v_{lb,1}\\ ...\\ v_{lb,m}\\ \end{vmatrix}$
且，
$f'(t_j) \leq v_{ub,j}$
即：
$\begin{vmatrix} 0& 1 & t_0 & t_0^2 & t_0^3 & t_0^4 \\ 0 & 1 & t_1 & t_1^2 & t_1^3 & t_1^4 \\ ...&...&...&...&...&... \\ 0 &1 & t_m & t_m^2 & t_m^3 & t_m^4 \\ \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} a_i \\ b_i \\ c_i \\ d_i \\ e_i \\ f_i \end{vmatrix} \leq \begin{vmatrix} v_{ub,0}\\ v_{ub,1}\\ ...\\ v_{ub,m}\\ \end{vmatrix}$