蓝桥杯每日一题2023.9.25

4406. 积木画 - AcWing题库 

题目描述

分析

 在完成此问题前可以先引入一个新的问题

291. 蒙德里安的梦想 - AcWing题库

我们发现16的二进制是 10000

15的二进制是1111

故刚好我们可以从0枚举到1 << n(相当于二的n次方的二进制表示）

 

注：奇数个0是非法的 

此处i的变化记录的是每一个状态，

这里的i每次>>j 是来记录i这个状态中0和1的个数，如果在这个过程中i是1就要看前面记录的0的个数，如果0的个数是奇数，那就会是1101这种类似状态故一定不符合事实

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 12, M = 1 << N;
ll n, m, f[N][M];
bool st[N];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
	while(cin >> n >> m)
	{
		if(n == 0 && m == 0)break;
		for(int i = 0; i < 1 << n; i ++)
		{
			st[i] = true;
			int cnt = 0;
			for(int j = 0; j < n; j ++)
			{
				if(i >> j & 1)
				{
					if(cnt & 1)
					{
						st[i] = false;
						break;
					}
				}
				else cnt ++;
			}
			if(cnt & 1)st[i] = false;//eg.0100
		}
		memset(f, 0, sizeof f);
		f[0][0] = 1;
		for(int i = 1; i <= m; i ++)
		{
			for(int j = 0; j < 1 << n; j ++)
			{
				for(int k = 0; k < 1 << n; k ++)
				{
					if((j & k) == 0 && st[j | k])
					{
						f[i][j] += f[i - 1][k];
					}
				}
			} 
		}
		cout << f[m][0] << '\n';
	}
	return 0;
}

题目分析

发现一共有16种转移状态

DP[i][j]表示已经操作完i - 1列且第i列的状态为j的所有方案的集合

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e7 + 10;
const int mod = 1000000007;

int g[4][4] = 
{
	{1, 1, 1, 1},
	{0, 0, 1, 1},
	{0, 1, 0, 1},
	{1, 0, 0, 0}, 	
};
int dp[N][4];
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	dp[1][0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i ++)//枚举列数 
	{
		for(int j = 0; j < 4; j ++)//从j状态转移到k状态 
		{
			for(int k = 0; k < 4; k ++)//表示向k状态转移 
			{
				dp[i + 1][k] = (dp[i + 1][k] + g[j][k] * dp[i][j]) % mod;
			}
		}
	}
	cout << dp[n + 1][0];
	return 0;
}

列举此位置的所有状态(j)每次乘上可以转化为的所有状态(k),然后不断将此位置的所有状态相加得到此位置的所有状态，最后输出最后一列(n)且下一列所有状态为0，也就是没有伸出的一列