NKOJ 排列 [DP]

NKOJ 排列 [递推]

问题描述

将自然数 1 到 n 任意排列，然后在排列的每两个数之间根据他们的大小关系插入“>”和“<”。 例如：对于 1..5 的一个排列：3 2 4 1 5，可得到：3 > 2 < 4 > 1 < 5，其中有两个“>”和 2 个“<” 。 现在给出自然数 n，问在自然数 1..n 的所有排列中，有多少个排列恰好有 k 个“<”。 请你解答这个问题。

输入格式

包含多组数据。第一行一个整数 T，表示有 T 组数据。
每组数据的占一行，包含两个整数 n 和 k，它们之间用一个空格分开。

输出格式

共 T 行，每组数据输出一行，每行一个整数，表示对应输入的排列数，这个数如果很大，则需要 输出 mod 1000000007 的结果。

解法

$f[i][j]$表示从1到$i$有$j$个$<$的方案数

在每一个$<$后面 或 开头插入$i+1$：$f[i-1][j]*(j+1)$

在每一个$>$后面 或 末尾插入$i+1$（多一个$<$）：$f[i-1][j-1]*(i-j)$

得到方程：$f[i][j]=f[i-1][j]*(j+1)+f[i-1][j-1]*(i-j)$

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define M 1000000007
#define ll long long
using namespace std;
ll f[1010][1010];
int main(){
    ll t;scanf("%lld",&t);
    for(ll i=0;i<=1000;i++)f[i][0]=1;
    for(ll i=1;i<=1000;i++)
        for(ll j=1;j<=1000;j++)
            f[i][j]=(f[i-1][j-1]*(i-j)+f[i-1][j]*(j+1))%M;
    for(ll i=1;i<=t;i++){
        ll n,k;scanf("%lld%lld",&n,&k);
        printf("%lld\n",f[n][k]);
    }
    return 0;
}