线段树是一种非常重要的数据结构，主要用动态维护区间信息。
线段树是的功能是把一个区间划分成许多个小区间，每个长度大于1的区间被从中间分成两段，分别对应该节点的左子树和右子
树，如图：
所以可以看出，假设一个节点对应的区间为 [l,r], 记mid=(l+r)/2,则其左子树对应区间为 [l,mid],右子树对应区间为[mid+1,r]。
复杂度方面，线段树所需要的数组大小是数列长度的4倍，时间复杂度为O（NlogN）。
线段树的基本操作
1.建树
建树的过程就是从根节点开始，递归建立左右子树。如果是叶子节点，赋值并回溯即可。注意minv数组初始值应为一个极大的数
int maxv[maxn*4],minv[maxn*4],sum[maxn*4];
int a[maxn];//原始数列
void build(int root,int l,int r)
{
if(l==r) maxv[root]=minv[root]=sum[root]=a[l];//叶子节点
else{
int mid=(l+r)/2;
build(root*2,l,mid);
build(root*2+1,mid+1,r);
maxv[root]=max(maxv[root*2],maxv[root*2+1]);
minv[root]=min(minv[root*2],minv[root*2+1]);
sum[root]=sum[root*2]+sum[root*2+1];
}
}
2.区间查询
从根节点开始递归，如果查询区间完全包含在当前节点的区间中，直接返回当前节点的值即可。如果查询区间和左子树有交集，递归左子树，和右子树有交集就递归右子树。
代码（以求最大值为例）
int query(int root,int ql,int qr,int l,int r)
{
int ans=0;
if(ql<=l&&qr>=r) return maxv[root];
int mid=(l+r)/2;
if(ql<=mid) ans=max(ans,query(root*2,ql,qr,l,mid));
if(qr>mid) ans=max(ans,query(root*2+1,ql,qr,mid+1,r));
return ans;
}
注意求最小值时ans的初值
3.单点修改
从根节点开始递归，判断修改的位置在当前节点的左子树还是右子树，递归相应的子树，然后更新当前节点的值。
void update(int root,int l,int r,int pos,int val)
{
if(l==r){
maxv[root]=val;
return;
}
int mid=(l+r)/2;
if(pos<=mid) update(root*2,l,mid,pos,val);
else update(root*2+1,mid+1,r,pos,val);
maxv[root]=max(maxv[root*2],maxv[root*2+1]);
}
4.区间修改
线段树最重要的功能。我们不可能对区间中的每个数做单点修改，时间复杂度将退化为N^2logN，无法接受。
所以这里引入线段树的核心操作,lazytag。
对于每一个节点，我们加一个变量，记录该点进行的修改操作，称为懒标记，父节点的修改操作会对子节点产生影响。
每次递归访问子树之前，都要进行一次维护，将该节点的lazytag值传给子节点，并相应地修改子节点的值，最后清空该节点的lazytag。
代码（以加法为例，维护区间和）：
struct node
{
int sum;
int tag;
}tr[maxn*4];
void pushdown(int root,int l,int r)
{
if(tr[root].tag){
int mid=(l+r)/2;
tr[root*2].tag+=tr[root].tag;
tr[root*2+1].tag+=tr[root].tag;
tr[root*2].sum+=tr[root].tag*(mid-l+1);
tr[root*2+1].sum+=tr[root].tag*(r-mid);
tr[root].tag=0;
}
}
所以区间修改的代码就很简单了，从根节点开始递归，如果当前节点完全包含在修改区间内，修改当前节点的lazytag和值然后回溯即可，否则先执行一次pushdown操作，再判断是否包含左子树，右子树，相应递归即可。
void update(int root,int ul,int ur,int l,int r,add)
{
if(ul<=l&&ur>=r){
tr[root].tag+=add;
tr[root].val+=add*(r-l+1);
return;
}
pushdown(root,l,r);
int mid=(l+r)/2;
if(ul<=mid) update(root*2,ul,ur,l,mid,add);
if(ur>mid) update(root*2+1,ul,ur,mid+1,r,add);
tr[root].val=tr[root*2].val+tr[root*2+1].val;
}
例题：
Luogu3372,3373(Luogu2023,BZOJ1798) 区间修改，区间查询
Luogu1198(BZOJ1012)，Luogu1531 单点修改，区间最值
Luogu1816 RMQ问题（可ST表）