高斯消元学习笔记

概述

高斯消元是一种重要的求解线性方程组的方法，高斯消元其实没有名字那么高大上，本质上就是减消元（这不是初中知识么）。大致过程就是用矩阵存储各项的系数，把第i个方程的前i项通过加减前面的式子变为0，然后求解即可。

过程

存储

首先用矩阵存储各项系数，我们定义系数矩阵，矩阵的第i行第j列存储第i个方程的第j项的系数。增广矩阵在系数矩阵的基础上加

上一列，记录每个等式等号右边的常数。

for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=1;j<=n+1;j++){
		scanf("%lf",&a[i][j]);
	}
}

消元

消元的过程就是通过方程的加减把一些系数消去，最终的结果应该是第一个方程剩余n个未知数，第二个方程剩n-1个...最后一个方程只剩下一个未知数，我们设第i个方程剩下的系数是x[i],x[i+1]...x[n]，这样，消元后的结果用矩阵表示出来就是一个阶梯形的矩阵，第i行的元素有a[i][i]~a[i][n]。

那么怎么进行操作呢？显然，我们可以枚举1~n，再枚举要消去第i项系数的行j（i+1~n），用第i行乘一个数和第j行进行加减使a[j][i]为0，那么第i行需要乘的数显然就是ratio=a[j][i]/a[i][i],然后将第j行每一个位置k减去a[i][k]*ratio即可。

for(int j=i+1;j<=n;j++){
	double ratio=a[j][i]/a[i][i];
	for(int k=1;k<=n+1;k++) a[j][k]=a[j][k]-ratio*a[i][k];
}

但是有一个问题，如果a[i][i]=0咋办？除法会炸掉。而且如果是一个极小的数，也可能会引起精度误差。

办法就是，找出第i项系数绝对值最大的行p，把这一行和第i行交换。需要注意的是，如果交换后a[i][j]仍然为0，说明有无数组解（xi可以取任何值）。

const double eps=1e-8;

int sign(double x)
{
	if(fabs(x)<eps) return 0;
	if(x>0) return 1;
	else return -1;
}//判断浮点数是否为零 

int p=i;
		for(int j=i;j<=n;j++){
			if(fabs(a[j][i])>fabs(a[p][i])) p=j;
		}
		for(int j=1;j<=n+1;j++) swap(a[i][j],a[p][j]);
		if(sign(a[i][i]==0)){
			cout<<"No Solution";
			flag=false;
			break;
		}

// 蜜汁乱码，可以直接看下面代码

到这里消元的过程就完成了。

求解

求解的思路就十分明了了，现在我们最后一项只有一个未知数，所以我们从后往前枚举，每次求出一个未知数后，把该值分别代入前面的方程，再解前面一个方程，就能求出所有未知数。

模板题：洛谷3389

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const double eps=1e-8;
double a[110][110];
double x[110];
int sign(double x)
{
	if(fabs(x)<eps) return 0;
	if(x>0) return 1;
	else return -1;
}//判断浮点数是否为零 
int main()
{
	int n;
	bool flag=true;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n+1;j++){
			scanf("%lf",&a[i][j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int p=i;
		for(int j=i;j<=n;j++){
			if(fabs(a[j][i])>fabs(a[p][i])) p=j;
		}
		for(int j=1;j<=n+1;j++) swap(a[i][j],a[p][j]);
		if(sign(a[i][i]==0)){
			cout<<"No Solution";
			flag=false;
			break;
		} 
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			double ratio=a[j][i]/a[i][i];
			for(int k=1;k<=n+1;k++) a[j][k]=a[j][k]-ratio*a[i][k];
		}
	}
	for(int i=n;i>=1;i--){
		x[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
		for(int j=1;j<=i-1;j++) a[j][n+1]-=a[j][i]*x[i];
	}
	if(flag) for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.2f\n",x[i]);
	
	return 0;
}