数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。但其算法十分复杂，不常用于加减消元法，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分省时。一些极大的方程组通常会用迭代法以及花式消元来解决。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。主要是用来求解线性方程组，根据方程组得出增广矩阵，对增广矩阵进行化简可得矩阵的秩，并可以根据秩的关系判断方程解的情况。
重要的还是做题吧。。。
一个模板:
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int MAXN = 1000;
int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵
int x[MAXN];//解集
bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元
inline int gcd(int a, int b) {
int t;
while(b != 0) {
t = b;
b = a % b;
a = t;
}
return a;
}
inline int lcm(int a, int b) {
return a / gcd(a, b) * b;//先除后乘防溢出
}
// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，
//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
int Gauss(int equ, int var) {
int i, j, k;
int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.
int col;//当前处理的列
int ta, tb;
int LCM;
int temp;
int free_x_num;
int free_index;
for(int i = 0; i <= var; i++) {
x[i] = 0;
free_x[i] = true;
}
//转换为阶梯阵.
col = 0; // 当前处理的列
for(k = 0; k < equ && col < var; k++, col++) {
// 枚举当前处理的行.
// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
max_r = k;
for(i = k + 1; i < equ; i++) {
if(abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col]))
max_r = i;
}
if(max_r != k) {
// 与第k行交换.
for(j = k; j < var + 1; j++)
swap(a[k][j], a[max_r][j]);
}
if(a[k][col] == 0) {
// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
k--;
continue;
}
for(i = k + 1; i < equ; i++) {
// 枚举要删去的行.
if(a[i][col] != 0) {
LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));
ta = LCM / abs(a[i][col]);
tb = LCM / abs(a[k][col]);
if(a[i][col] * a[k][col] < 0)
tb = -tb; //异号的情况是相加
for(j = col; j < var + 1; j++) {
a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb;
}
}
}
}
// 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
for (i = k; i < equ; i++) {
// 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
if (a[i][col] != 0) return -1;
}
// 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
// 且出现的行数即为自由变元的个数.
if (k < var) {
// 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.
for (i = k - 1; i >= 0; i--) {
// 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.
// 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.
free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.
for (j = 0; j < var; j++) {
if (a[i][j] != 0 && free_x[j])
free_x_num++, free_index = j;
}
if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.
// 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.
temp = a[i][var];
for (j = 0; j < var; j++) {
if (a[i][j] != 0 && j != free_index)
temp -= a[i][j] * x[j];
}
x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.
free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.
}
return var - k; // 自由变元有var - k个.
}
// 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
// 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
for (i = var - 1; i >= 0; i--) {
temp = a[i][var];
for (j = i + 1; j < var; j++) {
if (a[i][j] != 0)
temp -= a[i][j] * x[j]; //--因为x[i]存的是temp/a[i][i]的值，即是a[i][i]=1时x[i]对应的值
}
if (temp % a[i][i] != 0)
return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
x[i] = temp / a[i][i];
}
return 0;
}
int main()
{
//freopen("in.txt", "r", stdin);
//freopen("out.txt", "w", stdout);
int i, j;
int equ, var;
while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF) {
memset(a, 0, sizeof(a));
for (i = 0; i < equ; i++) {
for (j = 0; j < var + 1; j++) {
scanf("%d", &a[i][j]);
}
}
int free_num = Gauss(equ, var);
if (free_num == -1)
printf("无解!\n");
else if (free_num == -2)
printf("有浮点数解，无整数解!\n");
else if (free_num > 0) {
printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);
for (i = 0; i < var; i++) {
if (free_x[i])
printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);
else
printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
}
}
else {
for (i = 0; i < var; i++) {
printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
}
}
printf("\n");
}
return 0;
}