Ceres Solver 官方教程学习笔记（三） ——鲍威尔方程Powell`s Function

本节主要翻译自官方教程Powell’s Function（鲍威尔方程）

在这一节我们使用一个复杂一些的例子——求解鲍威尔方程的最小值。我们定义参数块 $x = \left[x_1, x_2, x_3, x_4 \right]$ 。以及代价函数如下：

\begin{aligned} f_{1} (x) & = x_{1} + 10 x_{2} \\ f_{2} (x) & = \sqrt{5} (x_{3} - x_{4}) \\ f_{3} (x) & = (x_{2} - 2 x_{3})^{2} \\ f_{4} (x) & = \sqrt{10} (x_{1} - x_{4})^{2} \\ F (x) & = [f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x), f_{4} (x)] \end{aligned}

$\begin{split} f_1(x) &= x_1 + 10x_2 \\ f_2(x) &= \sqrt{5} (x_3 - x_4)\\ f_3(x) &= (x_2 - 2x_3)^2\\ f_4(x) &= \sqrt{10} (x_1 - x_4)^2\\ F(x) &= \left[f_1(x),\ f_2(x),\ f_3(x),\ f_4(x) \right] \end{split}$

F (x)

$F(x)$ 是关于上面四个残差值的方程。我们希望寻找到一组

x

$x$ ，使

\frac{1}{2} ‖ F (x) ‖^{2}

$\frac{1}{2}\|F(x)\|^2$ 取得最小值。

同样的，第一步仍然是定义残差方程。对于每一行方程都可以定义一个对应的结构体，如对于 $f_4(x_1,x_4)$ ：

struct F4 {
  template <typename T>
  bool operator()(const T* const x1, const T* const x4, T* residual) const {
    residual[0] = T(sqrt(10.0)) * (x1[0] - x4[0]) * (x1[0] - x4[0]);
    return true;
  }
};

类似的我们也可以实现 $f_1$ ， $f_2$ 和 $f_3$ 的代码。之后就可以通过下列代码，把各个残差块加入到Problem中。

double x1 =  3.0; double x2 = -1.0; double x3 =  0.0; double x4 = 1.0;

Problem problem;

// Add residual terms to the problem using the using the autodiff
// wrapper to get the derivatives automatically.
problem.AddResidualBlock(
  new AutoDiffCostFunction<F1, 1, 1, 1>(new F1), NULL, &x1, &x2);
problem.AddResidualBlock(
  new AutoDiffCostFunction<F2, 1, 1, 1>(new F2), NULL, &x3, &x4);
problem.AddResidualBlock(
  new AutoDiffCostFunction<F3, 1, 1, 1>(new F3), NULL, &x2, &x3)
problem.AddResidualBlock(
  new AutoDiffCostFunction<F4, 1, 1, 1>(new F4), NULL, &x1, &x4);

注意每个残差块只依赖与两个参数，而不是全部四个参数。完整代码可以在安装包目录examples/powell.cc 中找到。
运行结果如下：

Initial x1 = 3, x2 = -1, x3 = 0, x4 = 1
iter      cost      cost_change  |gradient|   |step|    tr_ratio  tr_radius  ls_iter  iter_time  total_time
   0  1.075000e+02    0.00e+00    1.55e+02   0.00e+00   0.00e+00  1.00e+04       0    4.95e-04    2.30e-03
   1  5.036190e+00    1.02e+02    2.00e+01   2.16e+00   9.53e-01  3.00e+04       1    4.39e-05    2.40e-03
   2  3.148168e-01    4.72e+00    2.50e+00   6.23e-01   9.37e-01  9.00e+04       1    9.06e-06    2.43e-03
   3  1.967760e-02    2.95e-01    3.13e-01   3.08e-01   9.37e-01  2.70e+05       1    8.11e-06    2.45e-03
   4  1.229900e-03    1.84e-02    3.91e-02   1.54e-01   9.37e-01  8.10e+05       1    6.91e-06    2.48e-03
   5  7.687123e-05    1.15e-03    4.89e-03   7.69e-02   9.37e-01  2.43e+06       1    7.87e-06    2.50e-03
   6  4.804625e-06    7.21e-05    6.11e-04   3.85e-02   9.37e-01  7.29e+06       1    5.96e-06    2.52e-03
   7  3.003028e-07    4.50e-06    7.64e-05   1.92e-02   9.37e-01  2.19e+07       1    5.96e-06    2.55e-03
   8  1.877006e-08    2.82e-07    9.54e-06   9.62e-03   9.37e-01  6.56e+07       1    5.96e-06    2.57e-03
   9  1.173223e-09    1.76e-08    1.19e-06   4.81e-03   9.37e-01  1.97e+08       1    7.87e-06    2.60e-03
  10  7.333425e-11    1.10e-09    1.49e-07   2.40e-03   9.37e-01  5.90e+08       1    6.20e-06    2.63e-03
  11  4.584044e-12    6.88e-11    1.86e-08   1.20e-03   9.37e-01  1.77e+09       1    6.91e-06    2.65e-03
  12  2.865573e-13    4.30e-12    2.33e-09   6.02e-04   9.37e-01  5.31e+09       1    5.96e-06    2.67e-03
  13  1.791438e-14    2.69e-13    2.91e-10   3.01e-04   9.37e-01  1.59e+10       1    7.15e-06    2.69e-03

Ceres Solver v1.12.0 Solve Report
----------------------------------
                                     Original                  Reduced
Parameter blocks                            4                        4
Parameters                                  4                        4
Residual blocks                             4                        4
Residual                                    4                        4

Minimizer                        TRUST_REGION

Dense linear algebra library            EIGEN
Trust region strategy     LEVENBERG_MARQUARDT

                                        Given                     Used
Linear solver                        DENSE_QR                 DENSE_QR
Threads                                     1                        1
Linear solver threads                       1                        1

Cost:
Initial                          1.075000e+02
Final                            1.791438e-14
Change                           1.075000e+02

Minimizer iterations                       14
Successful steps                           14
Unsuccessful steps                          0

Time (in seconds):
Preprocessor                            0.002

  Residual evaluation                   0.000
  Jacobian evaluation                   0.000
  Linear solver                         0.000
Minimizer                               0.001

Postprocessor                           0.000
Total                                   0.005

Termination:                      CONVERGENCE (Gradient tolerance reached. Gradient max norm: 3.642190e-11 <= 1.000000e-10)

Final x1 = 0.000292189, x2 = -2.92189e-05, x3 = 4.79511e-05, x4 = 4.79511e-05

Ceres Solver 官方教程学习笔记（三） ——鲍威尔方程Powell`s Function

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