作者：禅与计算机程序设计艺术
1.简介
LLE(Locally Linear Embedding)算法是一种无监督降维方法，它可以从高维数据中学习到低维数据的表示形式，而且是局部的，即它仅仅考虑某个样本邻域内的数据点之间的关系，而不是全局的数据的相互联系。该算法通常用于高维空间中的可视化、数据压缩、分类等任务。
本文将对LLE算法进行详细的介绍，并通过具体的代码案例来加深对其工作原理和实现方式的理解。文章基于python编程语言。
1.背景介绍
在很多场景下，我们往往需要对高维的数据进行降维，以便于更好的展示、分析和处理。降维的方法种类繁多，如PCA、SVD等。但这些方法又存在着很大的缺陷：第一，它们假设所有数据都具有相同的方差分布；第二，它们只能找到一个全局最优的投影方向，而忽略了数据内部的不规则结构和复杂的局部信息。
因此，出现了一种新的降维算法——LLE。LLE利用局部信息进行降维，它认为样本的嵌入应该在周围样本的嵌入方向上保持较大的幅度。这种做法既保留了全局和局部信息，也克服了PCA和SVD所带来的局限性。同时，LLE算法不需要进行特征选择或者预先设置降维的维度数。
2.基本概念术语说明
- 样本点：指原始数据的点，可能是一个二维或三维点，也可能是多维的向量。
- 邻域：指样本点附近的一组点，该组点的距离足够近，且距离是指欧氏距离或其他任意的距离度量。
- 距离矩阵