直线的扫描转换

直接计算法

假定直线的起点、终点分别为：（x1,y1), (x2,y2)，且都为整数。
计算出斜率k=(y2-y1)/(x2-x1) ,
在Y轴的截距b=y1-k*x1　

这样一来，只要给定 x的值，根据解析式立即可以计算出对应的y值，然后输出(x,round(y))。这种方法直观，但效率太低，因为每一步需要一次浮点乘法、一次浮点加法和一次舍入运算。

数值微分法（ＤＤＡ）

假定直线的起点、终点分别为：（x1,y1), (x2,y2)，且都为整数。　

已知过端点P0 (x1, y1), P1(x2, y2)的直线段L：y=kx+b
直线斜率为：k=(y2-y1)/(x2-x1)
考虑当x从xi$\to$xi+1时y的变化规律：
设：
$\Delta x = x_{i+1}- x_i$
$x_{i+1} = x_i+ \Delta x$

计算：
$y_{i + 1} = kx_{i+1} + b = k(x_i + \Delta x) +b = kx_i+b+k\Delta x = y_i+k\Delta x$
当$\Delta x =1; y_{i+1} = y_i+k$
即：当x每递增1，y递增k(即直线斜率)；
注意上述分析的算法仅适用于|k|≤1的情形。在这种情况下，x每增加1,y最多增加1。
当 |k|>1时，必须把x，y地位互换。

DDA算法就是一个增量算法。

void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color) {    
  int x；                       
    float dx, dy, y, k;                     
    dx= x1-x0, dy=y1-y0;                   
    k=dy/dx, y=y0;                     
    for (x=x0; x<=x1; x++){     
      drawpixel (x, int(y+0.5), color); 
        y=y+k;
     }
}



中点Bresenham算法

原理：每次在主位移方向上走一步，另一个方向上走不走步取决于中点误差项的值。给定理想直线的起点坐标为P0(x0,y0)，终点坐标为P1(x1,y1),则直线的隐函数方程为：
$F(x,y) = y - kx - b = 0$
其中，直线的斜率：$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$
直线水平方向位移：$\Delta x = x_1 - x_0$
直线垂直方向位移：$\Delta y = y_1 - y_0$

理想直线将平面划分成三个区域：对于直线上的点，F(x，y)＝0；对于直线上方的点，F（x，y）＞0；对于直线下方的点，F（x，y）＜0。
假设直线的斜率为0≤k≤1，则Δx≥Δy，所以确定x方向为主位移方向。按照Bresenham原理，x方向上每次加1，y方向上加不加1取决于中点误差项的值。

假定直线的当前点是P，沿主位移x方向走一步，下一点只能在Pu和Pd两点中选取，Pu和Pd的中点为M。显然，若中点M在理想直线的下方，则Pu点距离直线近，否则选取Pd。（u代表up，上面的像素；d代表down，下面的像素）

构造中点误差项：

$从P_i(x_i,y_i)点出发选取下一像素时，需将P_u和P_d的中点M(x_i＋1,y_i＋0.5)代入隐函数方程，构造中点误差项d_i 。$
$d_i = F(x_i+1, y_i+0.5) = y_i+0.5 - k(x_i + 1) - b$

$$y_{i+1} = \begin{cases} y_i + 1 , & d_i < 0 \\ y_i , & d_i \ge 0 \end{cases}$$

中点误差项的递推公式

1. $当d_i<0时，下一步的中点坐标为M(x_i+2，y_i+1.5)，下一步中点误差项为$
   $d_{i+1} = F(x_i+2, y_i + 1.5) = y_i+1.5 - k(x_i+2) - b$
   $= y_i + 0.5 - k(x_i+1) - b + 1 - k$
   $= d_i + 1 - k$
2. $当d_i≥0，时下一步的中点坐标为M(x_i+2，y_i+0.5)，下一步中点误差项为$
   $d_{i+1} = F(x_i+2, y_i + 0.5) = y_i+0.5 - k(x_i+2) - b$
   $= y_i + 0.5 - k(x_i+1) - b - k$
   $= d_i - k$

中点误差项的初始值

$直线的起点坐标为P_0(x_0,y_0)，x为主位移方向。因此，第一个中点是M (x_0+1,y_0+0.5)，相应的d_i的初始值为：$
$d_0 = F(x_0+1, y_0 + 0.5) = y_0+0.5 - k(x_0+1) - b$
$= y_0 -kx_0 - b - k + 0.5$
$其中，因为（x_0，y_0）在直线上，所以 y_0 -kx_0 - b = 0$
$所以 d_0 = 0.5 - k$

由于使用的是di的符号，可以用$2d_i\Delta x$代替$d_i$来摆脱小数，使得算法只涉及整数运算。现有的研究已经证明：端点采用整数坐标没有什么益处，因为现在的CPU可以按照与处理整数同样的速度处理浮点数。