1.树概念及结构

1.1树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继因此，树是递归定义的
树这个结构我们需要注意树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

如上图所示，当子树之间有交集的时候，此时该结构就不能叫树了，应该叫图

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点（注意必须是亲兄弟）
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6（树的度也可以理解为一个父节点有多少个孩子节点，就有多少个度）
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；（如上图有4层）
树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4（4层）
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

孩子兄弟表示法又名左孩子右兄弟表示法，就像下图，孩子指针指向它的孩子节点，兄弟指针指向它的兄弟

树在实际中的应用就如我们电脑中的文件目录就是用树的结构来实现的

二.二叉树的概念

2.1概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：
1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

现实中我们可能也见过二叉树，就如下图样式（该树为完全二叉树）

2.2 特殊的二叉树：
1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是在 2^k-1，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.4 二叉树的性质
1. 若规定根节点的层数为i，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)个结点.
2. 若规定根节点的层数为h，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1 .
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为X0 , 度为2的分支结点个数为X2 ,则有 X0＝X2+1
4. 若规定根节点的层数为h，具有n个结点的满二叉树的深度:h= log(n+1) ( log以2为底，n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
3. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子
上面的（1.2.3）可以理解为在数组中知道父亲节点parent求左孩子节点下标2*parnet+1，右孩子下标为2*parent+2.如果知道孩子节点的其中一个节点的下标child求父节点的下标为(child-1)/2

下图为满二叉树和完全二叉树示意图

2.3二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
1. 顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树空
间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。像下图如果是非完全二叉树那将会浪费很多空间

2. 链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，实现二叉树一般都是二叉链，用到三叉链的数据结构如红黑树。