周志华-机器学习-笔记（三）-决策树

基本流程

　　决策树的功能和结构：一颗决策树包含一个根结点、若干个内部结点和若干个叶结点；叶结点对应于决策结果，其它每个结点则对应于一个属性测试；每个结点包含的样本集合根据属性测试的结果被划分到子结点中；根结点包含样片全集。
　　决策树学习的目的：为了产生一棵泛化能力强，即处理未见示例能力强的决策树。

　　决策树的生成是一个递归过程，但有递归就必定有导致递归返回的情况，要不然递归就会一直无限下去。
　　（1）当前结点包含的样本全属于同一类别，无需划分；
　　（2）当前属性集为空，或是所有样本在所有属性上取值相同，无法划分；
　　（3）当前结点包含的样本集合为空，不能划分。
　　在第（2）种情形下，我们把当前结点标记为叶结点，并将该类别设定为该结点所含样本最多的类别。
　　在第（3）种情形下，同样把当前结点标记为叶结点，但将其类别设定为与其父节点所包含样本最多的类别。

划分选择

　　由图4.2可看出，决策树学习的关键是第8行，即如何选择最优划分属性。随着划分过程的不断进行，我们希望决策树的分支节点所包含的样本尽可能属于同一类别，即结点的“纯度”(purity)越来越高。

信息增益

　　“信息熵”(information entropy)是度量样本集合纯度最常用的一种指标。假定当前样本集合$D$中第$k$类样本所占的比例为$p_{k}(k=1,2,...,|y|)$，则$D$的信息熵定义为：

$$Ent(D)=-\sum^{|y|}_{k=1}p_{k} \log_{2}pk$$
$Ent(D)$的值越小，则 $D$的纯度越高。
　　假定离散属性 $a$有 $V$个可能的取值 $\{a^1,a^2,...,a^V\}$，则使用 $a$来对样本集 $D$进行划分，就会产生 $V$个分支结点，其中第 $v$个分支结点包含了 $D$中所有在属性 $a$上取值为 $a^v$的样本，记为 $D^v$。我们可以计算出 $D^v$的信息熵为 $Ent(D^v)$，考虑到不同的分支结点所包含的样本数不同，给各个分支结点赋予权重 $\frac{D^v}{D}$，于是算出用属性 $a$对样本 $D$进行划分所获得的“信息增益”(information gain)： $$Gain(D,a)=Ent(D)-\sum^{V}_{v=1}\frac{|D^v|}{|D|}Ent(D^v)$$
信息增益越大，则意味着使用属性 $a$来进行划分所获得的“纯度提升”越大。因此，我们用信息增益来进行决策树的划分属性选择，即图4.2算法第8行选择属性 $a_{*}=arg\;max\;Gain(D,a),\; a \in A$。

增益率

　　信息增益准则对可取值数目较多的属性有所偏好，为了减少这种偏好可能带来的不利影响，使用“增益率”(gain ratio)来选择最优划分属性。其定义为：

$$Gain\_ratio(D,a)=\frac{Gain(D,a)}{IV(a)}$$ 其中 $$IV(a)=-\sum^{V}_{v=1}\frac{|D^v|}{|D|}\log_{2}\frac{|D^v|}{|D|}$$ 称为属性 $a$的“固有值”(intrinsic value)。通常属性 $a$的可能取值数目越多（即 $V$越大），则 $IV(a)$的值通常越大。
　　增益率准则对可取值数目较少的属性有所偏好，故在使用增益率准则时，想从候选划分属性中找出信息增益高于平均水平的属性，再从中选择增益率最高的。

尼基指数

　　CART决策树，Classification and Regression Tree，是一种著名的决策树学习算法，分类和回归任务都可用。它就使用“尼基指数”(Gini index)来选择划分属性。数据集$D$的纯度用尼基值来度量：

$$Gini(D)=\sum^{|y|}_{k=1} \sum_{k' \neq k}p_{k}p_{k'} = 1-\sum^{|y|}_{k=1}p^{2}_{k}$$
　　 $Gini(D)$反映了数据集 $D$中随机抽取两个样本，其类别标记不一致的概率。因此， $Gini(D)$越小，则数据集 $D$的纯度越高。
　　属性 $a$的尼基指数定义为 $$Gini\_index(D,a)=\sum^{V}_{v=1}\frac{|D^v|}{|D|}Gini(D^v)$$
　　我们在候选属性 $A$中，选择尼基指数最小的属性作为最优划分属性，即 $a_{*}=arg\;min\;Gini\_index(D,a),\;a\in A$。

剪枝处理

　　剪枝(pruning)是决策树学习算法对付“过拟合”的主要手段。决策树剪枝的基本策略有“预剪枝”(prepruning)和”后剪枝”(post-pruning)。预剪枝是指在决策树生成过程中，对每个结点在划分前先进行估计，若当前结点的划分不能带来决策树泛化性能提升，则停止划分并将当前结点标记为叶结点；后剪枝是先从训练集生成一颗完整的决策树，然后自底向上地对非叶结点进行考察，若将该结点对应的子树替换为叶结点能带来决策树泛化性能提升，则将该子树替换为叶结点。
　　判断决策树泛化性能提升的方法有很多（留出法、自助法等），这里使用留出法讨论。对西瓜数据集随即划分成下图的两个部分：

预剪枝

　　基于信息增益准则，如果对表4.2的数据集生成决策树，如下图所示：

　　预剪枝处理的决策树如下图：

后剪枝

　　基于表4.2的数据我们得到图4.5的决策树，用验证集验证可知该决策树的进度为$42.9\%$。后剪枝需要从低往上，一个结点一个结点验证。得到的决策树如下

其验证精度为$71.4\%$。

　　预剪枝与后剪枝比较：后剪枝决策树通常比预剪枝决策树保留了更多的分支，所以后剪枝决策树的欠拟合风险很小，泛化性能往往优于预剪枝决策树。
　　但后剪枝决策树需要对每个非叶结点逐一进行考察，因此其训练时间开销比未剪枝和预剪枝决策树都要大得多。

连续与缺失值

连续值处理

　　在现实学习任务中常会遇到连续属性（例如，形容一种特性的程度），所以有必要讨论如何在决策树学习中使用连续属性。二分法(bi-partition)是对连续属性进行处理的最简单策略，是一种连续属性离散化技术。
　　给定样本集$D$和连续属性$a$，假定$a$在$D$上出现了$n$个不同的取值，将这些值从小到大进行排序，记为$\{a^1,a^2,...,a^n\}$。然后基于划分点$t$可以将$D$分为子集$D^{-}_{t}$（属性$a$上取值不大于$t$的样本），和$D^{+}_{t}$（属性$a$上取值大于$t$的样本）。
　　由于对于任意相邻的属性取值$a^i$和$a^{i+1}$来说，$t$在区间$[a^i,a^{i+1})$中取任意值所产生的划分结果相同。因此，对于连续属性$a$，包含$n-1$个元素的候选划分点集合

$$T_{a}=\{\frac{a^i + a^{i+1}}{2}\;|\;1 \leq i \leq n-1\}\;，$$ 然后，就可以想离散属性值一样来考察这些划分点，选择最优的划分点进行样本集合的划分。有：
$$Gain(D,a) = max\;Gain(D,a,t),\; t\in T_{a}$$
$$=max\;Ent(D)-\sum_{\lambda \in \{-,+\}}\frac{|D^{\lambda}_{t}|}{|D|}Ent(|D^{\lambda}_{t})\;，$$ 其中 $Gain(D,a,t)$是样本集 $D$基于划分点 $t$二分后的信息增益。于是选择使 $Gain(D,a,t)$最大化的划分点。

缺失处理

　　现实任务中常常会遇到不完整的样本，即样本的某些属性值缺失。如果我们放弃这些不完整的样本，无疑是对数据信息的极大的浪费。下表是含有不完整样本的西瓜数据集

　　对此，我们需要解决两个问题：（1）如何在属性值缺失的情况下进行划分属性选择？（2）给定划分属性，若样本在该属性上的值缺失，如何对样本进行划分？
　　给定训练集$D$和属性$a$，令$\check{D}$表示$D$中在属性$a$上没有缺失值的样本子集。
　　对于问题（1），我们仅可根据$\check{D}$来判断属性$a$的优劣。假定属性$a$有$V$个可取值$\{a^1,a^2,...,a^V\}$，令$\check{D^v}$表示$\check{D}$在属性$a$上取值为$a^v$的样本子集；$\check{D_k}$表示$\check{D}$中属于第$k$类$(k=1,2,...|y|)$的样本子集。于是有，$\check{D}=\cup^{|y|}_{k=1}\check{D}_k$，它表示$check{D}_{k},\;(k=1,2,...,|y|)$的所有并集；和$\check{D}=\cup^{V}_{v=1}\check{D}^v$，它表示$check{D}^{v},\;(v=1,2,...,V)$的所有并集。
　　假定我们为每个样本$x$赋予一个权重$w_x$，并定义

$$\rho=\frac{\sum_{x \in \check{D}}w_x}{\sum_{x \in D}w_x}$$ $$\check{p}_k=\frac{\sum_{x \in \check{D_k}}w_x}{\sum_{x \in \check{D}}w_x}\;\;(1 \leq k \leq |y|)$$ $$\check{r}_k=\frac{\sum_{x \in \check{D^v}}w_x}{\sum_{x \in \check{D}}w_x}\;\;(1 \leq v \leq V)$$ 对属性 $a$来说， $\rho$表示无缺失值样本所占的比例； $\check{p_k}$表示无缺失值样本中第 $k$类所占的比例； $\check{r_v}$表示无缺失值样本中在属性 $a$上取值 $a^v$的样本所占的比例。并且有， $\sum^{|y|}_{k=1}\check{p_k}=1$， $\sum^{V}_{v=1}\check{r_v}=1$。
　　根据上述定义，可将信息增益的计算式(4.2)推广为 $$Gain(D,a)=\rho \times Gain(\check{D},a)=\rho \times (Ent(\check{D}) - \sum^{V}_{v=1}Ent(\check{D^v}))$$ 其中 $Ent(\check{D})=-\sum^{|y|}_{k=1}\check{p_k} \log_{2}\check{p_k}$
　　 对于问题（2），若样本 $x$在划分属性 $a$上的取值已知，则将 $x$划入与其取值对应的子结点，且样本权值在子结点中保持为 $w_x$；若样本 $x$在划分属性 $a$上的取值未知，则将 $x$同时划入所有子结点，且样本权值在与属性值 $a^v$对应的子结点中调整为 $\check{r_v} \cdot w_x$，这相当于让同一个样本以不同的概率划入到不同的子结点中去。

多变量决策树

　　若把每个属性是为坐标空间中的一个坐标轴，则d个属性对应d维空间中的一个数据点。决策树所形成的的分类边界有一个明显的特点：轴平行（axis-parallel），即它的分类边界由若干个与坐标轴平行的分段组成。

　　若是在多变量情况下，决策树会相当复杂，由于要进行大量的属性测试，预测时间开销会很大。但若能使用斜的划分边界，则决策树模型将大为简化。

　　“多变量决策树”(multivariate decision tree)就是能实现这样的“斜划分”甚至更复杂划分的决策树。
　　以实现斜划分的多变量决策树为例，在此类决策树中，非叶结点不再是仅对某个属性，而是对属性的线性组合进行测试；使得每个非叶结点是一个形如$\sum^{d}_{i=1}w_{i}a_{i}=t$的线性分类器，其中$w_i$是属性$a_i$的权重，$w_i$和$t$可在该结点所含的样本集和属性集上学得。