写在前面
二叉树的几乎所有实现都是依靠递归实现，递归的核心思路是把任何一个二叉树看成根和左右子树，而二叉树递归的核心玩法就是把二叉树的左右子树再看成根，再找左右子树，再看成根…
因此，解决二叉树问题实际上要把二叉树转换成一个一个子树的过程，找到一个一个的子树再组装起来就形成了二叉树
二叉树的创建
二叉树建立的正统方法是利用递归，这里展示递归的一种写法
BTNode* BuyNode(BTDataType a)
{
BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
newnode->data = a;
newnode->left = NULL;
newnode->left = NULL;
return newnode;
}
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int* pi)
{
if (a[*pi] == '#')
{
(*pi)++;
return NULL;
}
BTNode* root = BuyNode(a[*pi]);
(*pi)++;
root->left = BinaryTreeCreate(a, pi);
root->right = BinaryTreeCreate(a, pi);
return root;
}
如果你对递归的认识并不熟悉，下面我画了一幅递归展开图，更好解释这其中的原理
(右子树的部分过程由于空间原因不够完全展开，但如果看懂左子树的构建过程，右子树不难自己画出)
这里注意的是，函数栈帧的创建并不是每一个都不一样的位置，当一个栈帧被销毁后，另外一个栈帧创建就会在原来的位置，因此在计算空间复杂度的时候需要考虑这个问题：
空间是可以重复利用的，时间是一去不复返的
从这幅图中，相信可以理解这段代码的含义了
首先创建一个根节点，根节点去寻找左子树进入递归，而进入递归后继续寻找左子树…直到遇到NULL截止，而遇到空后就寻找右子树，右子树也找到空后返回，这样就构建出了二叉树中最小的一棵树，而这棵树会返回，作为根的左子树，然后继续进入递归寻找根的右子树…
由于是借助链表进行实现的，因此我们可以理解为首先创建好根，而根的左右子树用函数创建好后再连接起来…当遇到#就返回，形成了一个一个的小树，小树最后组成大树，就形成了二叉树
二叉树的遍历
二叉树的遍历主要有前序遍历，中序遍历，后序遍历，层序遍历
前序遍历
前序遍历是指遍历时先访问根，再访问左子树，再访问右子树
代码实现如下
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("N ");
return;
}
printf("%c ", root->data);
BinaryTreePrevOrder(root->left);
BinaryTreePrevOrder(root->right);
}
下面依旧画出它的递归展开图
中序遍历
中序遍历是先访问左子树，再访问根，最后访问右子树
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("N ");
return;
}
BinaryTreeInOrder(root->left);
printf("%c ", root->data);
BinaryTreeInOrder(root->right);
}
递归图和上面基本类似，就不做画出了
后序遍历
后序遍历是先访问左子树，再访问右子树，最后访问根
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("N ");
return;
}
BinaryTreePostOrder(root->left);
BinaryTreePostOrder(root->right);
printf("%c ", root->data);
}
递归图和上面基本类似，就不做画出了
层序遍历
层序遍历指的是对二叉树进行一层一层的遍历，每一层分别遍历，这里借助队列进行遍历，基本思路把根放到队列中，当某一个根要出队列时，就令该根的左子树和右子树进队列，这样就能实现一层一层遍历，画法如下：
代码实现相较于前面来说简单一些，但需要引入队列的，关于队列的介绍：
下面展示要使用的队列的相关函数实现
// queue.h
typedef struct BinaryTreeNode* QDataType;
typedef struct QNode
{
QDataType data;
struct QNode* next;
}QNode;
typedef struct Queue
{
QNode* phead;
QNode* ptail;
int size;
}Queue;
// queue.c
void QueueInit(Queue* pq)
{
assert(pq);
pq->phead = pq->ptail = NULL;
pq->size = 0;
}
void QueueDestroy(Queue* pq)
{
assert(pq);
QNode* cur = pq->phead;
while (cur)
{
QNode* next = cur->next;
free(cur);
cur = next;
}
pq->phead = pq->ptail = NULL;
pq->size = 0;
}
QNode* BuyQnode(QDataType x)
{
QNode* newnode = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));
if (newnode == NULL)
{
perror("malloc fail");
return NULL;
}
newnode->data = x;
newnode->next = NULL;
return newnode;
}
void QueuePush(Queue* pq, QDataType x)
{
assert(pq);
QNode* newnode = BuyQnode(x);
if (pq->ptail == NULL)
{
assert(pq->phead == NULL);
pq->phead = pq->ptail = newnode;
}
else
{
pq->ptail->next = newnode;
pq->ptail = newnode;
}
pq->size++;
}
bool QueueEmpty(Queue* pq)
{
if (pq->size == 0)
{
return true;
}
return false;
}
void QueuePop(Queue* pq)
{
assert(pq);
assert(!QueueEmpty(pq));
if (pq->phead->next == NULL)
{
free(pq->phead);
pq->phead = pq->ptail = NULL;
}
else
{
QNode* newhead = pq->phead->next;
free(pq->phead);
pq->phead = newhead;
}
pq->size--;
}
QDataType QueueFront(Queue* pq)
{
assert(pq);
assert(!QueueEmpty(pq));
return pq->phead->data;
}
QDataType QueueBack(Queue* pq)
{
assert(pq);
return pq->ptail->data;
}
int QueueSize(Queue* pq)
{
assert(pq);
return pq->size;
}
那么借助队列我们来实现刚才的层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
Queue q;
QueueInit(&q);
if (root)
{
QueuePush(&q, root);
}
while (!QueueEmpty(&q))
{
BTNode* front = QueueFront(&q);
printf("%c ", front->data);
QueuePop(&q);
if (front->left)
QueuePush(&q, front->left);
if(front->right)
QueuePush(&q, front->right);
}
printf("\n");
//BinaryTreeDestory(&q);
}
二叉树的销毁
在知道了遍历的多种途径后，二叉树的销毁就很简单了，在确定代码如何实现前，先思考问题：应该选用哪种遍历来进行二叉树的销毁？
结果是很明显的，选用后序遍历是最方便的，原因在于销毁是需要进行节点的释放的，如果使用前序或者中序遍历，那么在遍历的过程中根节点会被先销毁，那么找左子树或者右子树就带来了不便(可以定义一个变量保存位置)，因此最好用后序遍历，把子树都销毁了最后销毁根
void BinaryTreeDestory(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
return;
}
BinaryTreeDestory(root->left);
BinaryTreeDestory(root->right);
free(root);
}
二叉树节点个数
二叉树节点个数也是转换成子树来解决，如果为NULL就返回0，其他情况返回左右相加再加上节点本身
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
return 0;
}
return 1 + BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right);
}
二叉树叶子节点的个数
叶子节点个数求解和上述方法相似，也是找最小的子树，但不同的地方是，叶子节点找到的条件是叶子作为根，它的左右子树都为空，符合这样的就是叶子节点，那么根据这个想法求得代码不难得到：
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
return 0;
}
if (root->left == NULL && root->right == NULL)
{
return 1;
}
int leftleave = BinaryTreeSize(root->left);
int rightleave = BinaryTreeSize(root->right);
return leftleave + rightleave;
}
二叉树查找值为x的节点
这个相对较麻烦一点，先上展开图和代码
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
if (root == NULL)
{
return NULL;
}
if (root->data == x)
{
return root;
}
BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);
if (ret1)
return ret1;
BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);
if (ret2)
return ret2;
return NULL;
}
这里的关键动作就是判断ret1和ret2是否为空，如果是，则说明找到正确的值，那么就会一路被送出函数，相反会一直返回NULL，因此就不必担心送出其他元素的情况
二叉树是否为完全二叉树
这个思路也较为复杂，首先，需要解决的问题是用什么思路，基本思路是一个一个看，如果在某一个节点已经为空的前提下，它后面的节点还不为空，那么就说明这个不是完全二叉树
因此这个思路是不是和层序遍历很像呢？我们借助这样的思路继续写下去
当队列不为空就继续入队列出队列进行层序遍历，当遇到空就跳出，跳出循环后此时队列并不为空，继续出队列，如果发现某个元素不为空，那么就证明这并不是完全二叉树
代码实现如下：
int BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
assert(root);
Queue q;
QueueInit(&q);
while (!QueueEmpty(&q))
{
BTNode* front = QueueFront(&q);
QueuePop(&q);
if (front == NULL)
{
break;
}
QueuePush(&q,front->left);
QueuePush(&q,front->right);
}
while (!QueueEmpty(&q))
{
BTNode* front = QueueFront(&q);
QueuePop(&q);
if (front)
{
BinaryTreeDestory(&q);
return 0;
}
}
BinaryTreeDestory(&q);
return 1;
}
至此，二叉树的基本功能实现就都结束了，很明显，二叉树的实现并不容易，它不仅需要对递归有一定深度的认识，还需要你对队列有足够的理解，才能解决层序遍历和判断完全二叉树
这需要进行更多的练习，也为后面更复杂的树打基础和铺垫
