ACM数论 裴蜀定理（贝祖定理）

一.内容定义

        「裴蜀定理」，又称贝祖定理（Bézout's lemma）。是一个关于最大公约数的定理。其内容定义为：对于不全为零的任意整数 a 和 b，记二者的最大公约数为 g 即 gcd(a,b) = g，则对于任意整数 x 和 y 都一定满足 ax+by 是 g 的倍数。特别地，一定存在整数 x 和 y 的解，使得 ax+by=gcd(a,b) 成立。它的一个重要推论为：a,b互质的充分必要条件是存在整数x,y 使 ax+by=1; 或者说对于方程 ax+by=1 只有整数a和b互质时，方程才有整数解x,y。

        「裴蜀定理」也可以推广到多个整数的情况。对于不全为零的任意 n 个整数 ，记这 n 个数的最大公约数为  ，则对于任意 n 个整数  都满足  是 g 的倍数。特别的，一定存在一个整数序列的解  使得  成立。 它的一个重要的推论为：正整数 ​ 到 ​ 的最大公约数是 1 的充分必要条件是存在 n 个整数  到  满足 

二.证明与应用

1.证明

        裴蜀定理的证明在本文就不再赘述，该定理是一个很简单但是又非常重要的基本定理。这里给出两个比较官方的证明，请参考如下：

• 「裴蜀定理」百度百科
• 「裴蜀定理」OI Wiki

2.应用

        裴蜀定理作为一个非常重要的基本定理，一方面可以在一些算法题目中作为关键的解题思路出现；另一方面，该定理也是一些算法和证明的推导基础，比如 扩展欧几里得算法、线性同余方程等。可以参考我之前的文章会更加清晰：

• 「扩展欧几里得算法」CSDN BLOG

三.例题

1.「检查好数组」LeetCode 1250

        给你一个正整数数组 nums，你需要从中任选一些子集，然后将子集中每一个数乘以一个 任意整数，并求出他们的和。假如该和结果为 1，那么原数组就是一个「好数组」，则返回 True；否则请返回 False。

        原题要求可以转换为求在数组中是否存在  ，根据裴蜀定理可知，该问题即为求解数组中是否存在任意一组互质的数。

         正面去思考的话问题比较复杂，我们需要考虑是否存在两两互质、三个互质 ...，时间复杂度较高。但是从反面去思考的话问题就简单很多：一个数组要么是「好数组」，要么就是「非好数组」；如果整个数组是「非好数组」，就意味着数组中不存在任意一组互质的数（任意两两都不互质），那么我们直接求整个数组  的最大公约数即可。若全部数字的最大公约数等于 1 则原数组为「好数组」，否则不是。

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

class Solution {
public:
    int gcd(int a,int b){
        return b==0?a:gcd(b,a%b);
    }

    bool isGoodArray(vector<int>& nums) {
        int len = nums.size();
        int x = nums[0];
        for(int i = 1;i<len;i++){
            if(x==1)break;
            x = gcd(x,nums[i]);
        }
        return x == 1;
    }
};