Utawarerumono（裴蜀定理）

• 注释：本章涉及的数为整数
• 题面
• 题意：见题面。
• 解决思路：首先判断$ax+by=c$是否有解，由裴蜀定理可知，$(a,b)\mid c$时有解。
  此时计算$p_2{x}^2+p_{1}x+q_2{y}^2+q_{1}y$最小值，发现有两个未知数，不好判断，所以将$ax+by=c$转换为$y=\frac{c-ax}{b}$代入方程。
  $\therefore f(x)=p_2{x}^2+p_{1}x+\frac{q_2(c^2+a^2{x}^2-2acx)}{b^2}+\frac{q_1(c-ax)}{b}$
  $\therefore f(x)=(p_2+\frac{a^2{q}_2}{b^2})x^2+(p_1-\frac{2ac{q}_2}{b^2}-\frac{a{q}_1}{b})x+\frac{q_2{c}^2}{b^2}+\frac{q_{1}c}{b}$
  由抛物线性质可知：方程$f(x)$的最小值在对称轴处
  $x=\frac{\frac{q_{1}a}{b}+\frac{2ac{q}_2}{b^2}-p_1}{2(p_2+\frac{a^2{q}_2}{b^2})}$
  上下同时乘$b^2$
  $x=\frac{ab{q}_1+2ac{q}_2-b^2{p}_1}{2b^2{p}_2+2a^2{q}_2}$
  所以直接计算找出小于对称轴且满足$ax+by=c$与大于对称轴且满足$ax+by=c$的方程值，取最小即可。
  满足方程的判断：因为$x$已知且是整数，所以对于方程$ax+by=c$直接判断$y$是否为整数就行，所以判断$y=\frac{c-ax}{b}$为整数即可，即当$b\mid (c-ax)$时$y$为整数，$ax+by=c$有解
• AC代码

//优化
#pragma GCC optimize(2)
//C
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
//C++
#include<unordered_map>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<istream>
#include<iomanip>
#include<climits>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
//宏定义
#define N 1010
#define DoIdo main
//#define scanf scanf_s
#define it set<ll>::iterator
#define TT template<class T>
//定义+命名空间
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const ll mod = 19260817;
const ll INF = 1e18;
const int maxn = 1e6 + 10;
using namespace std;
//全局变量
//函数区
ll max(ll a, ll b) {
    
     return a > b ? a : b; }
ll min(ll a, ll b) {
    
     return a < b ? a : b; }
ll gcd(ll a, ll b) {
    
     return !b ? a : gcd(b, a % b); }
//主函数
int DoIdo() {
    
    

	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(NULL), cout.tie(NULL);

	ll a, b, c;
	ll p1, p2, q1, q2;

	cin >> a >> b >> c;
	cin >> p1 >> p2;
	cin >> q1 >> q2;

	ll g = gcd(a, b);
	if (c % g) {
    
    
		cout << "Kuon" << endl;
	}
	else {
    
    
		ll mid = (a * b * q1 + 2 * a * c * q2 - p1 * b * b) / (2 * b * b * p2 + 2 * a * a * q2);
		ll x1 = mid, x2 = mid;
		while ((c - a * x1) % b) x1--;
		while ((c - a * x2) % b) x2++;

		ll y1 = (c - a * x1) / b;
		ll y2 = (c - a * x2) / b;

		ll ans1 = p2 * x1 * x1 + p1 * x1 + q2 * y1 * y1 + q1 * y1;
		ll ans2 = p2 * x2 * x2 + p1 * x2 + q2 * y2 * y2 + q1 * y2;
		cout << min(ans1, ans2) << endl;
	}
	return 0;
}
//分割线---------------------------------QWQ
/*



*/