利用互相关方法校正二维图像移动

在对同一个物体进行长时间拍摄的过程中，难免会因为一些外界原因，比如，物体的移动，导致拍摄的物体在成像平面中发生移动。这时，在分析某一特定区域长时间的特性之前，要对成像得到的图像进行校正。

本文中针对二维图像水平和竖直方向移动进行校正。校正的方法有很多种，有的是通过搜索、迭代、优化，找到最优解的。而本文中采用了利用互相关的方法，可以做到在一定假设的条件下，直接得到x、y平移的数值。

1 互相关用于图像配准原理介绍
假设图像$f_2$是$f_1$经过平移得到的，那么

$$f_2 = f_1(x-\Delta x, y-\Delta y)$$
根据傅里叶变换定理
$$F_2(u,v)=F_1(u,v)e^{-2\pi j (u\Delta x+v\Delta y)}$$
根据互相关函数的定义
$$R_{c c f}(x,y)=f_1(x,y)*f_2(-x,-y)$$
计算傅里叶变换，可得
$$R_{c c f}(u,v)=F_1(u,v)F_2^*(u,v)=F_1 F_1^*e^{2\pi j(u\Delta x+v\Delta y)}=F(u,v)e^{2\pi j(u\Delta x+v\Delta y)}$$
其中， $F(u,v)=F_1 F_1^*$
将上式求反傅里叶变换，可得
$$R_{ccf}(x,y)=F(x,y)*\delta(x-\Delta x,y-\Delta y)=F(x-\Delta x,y-\Delta y)$$
由自相关函数的性质可知，函数 $F(x,y)$的峰值在原点处，因此 $R(x,y)$的峰值出现在点 $(\Delta x,\Delta y)$处，也就是函数 $f_2(x,y)$的偏移量。

2 举例
例子中的图像来自文章[1]，$f_1$和$f_2$是在不同时刻拍摄到的图像。两幅图像的大小均为$200*200$。现在需要将其配准，其便于研究其中神经元的活动情况（荧光亮度）。

左图是 $f_1$，右图是 $f_2$

Matlab 代码如下

clear
I1 = imread('f1.tif');%f1 (reference image)
FI1 = fft2(I1);

I2 = imread('f2.tif');%f2 (floating image)
FI2 = fft2(I2);

FR = FI1.*conj(FI2);%calculating correlation 

R = ifft2(FR);
R = fftshift(R);

num = find(R==max(R(:)));
[i,j] = ind2sub(size(R), num);
offset_x = i-100
offset_y = j-100

R = R/max(R(:));
figure %coefficient of correlation in spatial domain
imshow(R,[])

[X,Y] = meshgrid(1:200);
figure
mesh(X,Y,R)

figure
subplot(1,2,1)
imshow(I1-I2);title('before registration')

subplot(1,2,2)
I3 = imtranslate(I2, [2,3]);
imshow(I1-I3);title('after registration')

计算结果

offset_row = 3
offset_col = 2

利用校正前和校正后两幅图像的差值进行检验

从上面的图像可以看出，在经过校正后，图像的相似度提高了。

另外，Matlab官方文档中的一个例子。它利用互相关来实现寻找最优匹配的例子。其实质和图像校正是一致的，都是通过计算互相关系数，找到两幅图像之间最匹配时平移的距离。

有问题，随意提出，共同进步。

[1] Ming Li, Fang Liu, Hongfei Jiang, Tai Sing Lee, Shiming Tang (2017) Long-Term Two-Photon Imaging in Awake Macaque Monkey, Neuron