背包问题 -- 博物馆大盗

描述

大盗潜入博物馆，面前有5件宝物，分别有重量和价值，大盗的背包仅能负重20斤，请问如何选择宝物，总价值最高？

对应关系如下：

宝物编号	重量	价值
1	2	3
2	3	4
3	4	8
4	5	8
5	9	10

分析

设$value=f(n,w)$为第n个宝物在w重量的限制下可以得到的最大价值，n(1<=n<=5)当前宝物个数，w(1<=w<=20)为所有宝物的重量。

通过$value=f(n,w)$可以构建n行，m列的二维数据表，value便是表示当前组合的最大价值。

1. 如果n或w有一个为0，那么value均为0；
2. 如果第n个宝物的重量超过当前背包限制的重量，即装不下第n个宝物，最大价值value等于不装此宝物的价值，那么就等于第n-1个宝物在相同w的组合下产生的最大价值。
3. 如果能装下第n个宝物，最大价值为max(不装第n个宝物的价值, 装下第n宝物的价值)，装下第n宝物的价值 = f(宝物为第n-1件时and扣除当前宝物的重量限制的最大价值+当前这件宝物的价值)
   • 扣除当前宝物的重量限制的最大价值的原因：第n个宝物放入后，背包的限制重量就需要减去第n个宝物的重量
   • +当前这件宝物的价值：第n个宝物放入后，价值自然便计入当中

$f(n,w)=\{\begin{array}{ll}0& \text{if }n=0orw=0\\ f(n-1,w)& \text{if }{w}_n>w\\ max(f(n-1,w),f(n-1,w-w_n)+valu{e}_i)& \text{if }{w}_n<w\end{array}$

代码

weight_value = [None,
                {
    
    'w': 2, 'v': 3}, {
    
    'w': 3, 'v': 4},
                {
    
    'w': 4, 'v': 8}, {
    
    'w': 5, 'v': 8}, {
    
    'w': 9, 'v': 10}]

max_weight = 20
values = {
    
    (n, w): 0 for n in range(len(weight_value)) for w in range(max_weight + 1)}

# 填写二维表格
for n in range(1, len(weight_value)):
    for w in range(1, max_weight + 1):
        # 如果装不下第n个宝物，最大价值等于不装此宝物的价值
        if weight_value[n]['w'] > w:
            values[(n, w)] = values[(n - 1, w)]
        # 如果能装下第n个宝物，最大价值为max(不装此宝物的价值, 装此宝物的价值)
        else:
            # 装此宝物的价值=宝物为n-1件时and扣除当前宝物的重量限制的最大价值+当前这件宝物的价值
            values[(n, w)] = max(values[(n - 1, w)], values[(n - 1, w - weight_value[n]['w'])] + weight_value[n]['v'])

if __name__ == '__main__':
    print(values[(len(weight_value) - 1, max_weight)])

输出: 29

二维表明细

• f(5, 20)便是对应的最大价值