[算法刷题题解笔记] POJ 1106 Transmitters [计算几何|叉积|点线关系]

题目链接

• http://poj.org/problem?id=1106
  

题目大意

• 输入第一行给出一个圆的圆心坐标及半径，再给出n个点，要求在这个圆中取出一个半圆，使这个半圆覆盖点数最多，输出这个最大点数
  

示例输入

• 第一行：圆的圆心坐标和圆的半径
• 第二行：点的个数 n
• 第二行后面的n行：每个点的坐标
• 输入的测试数据有若干组，输入的测试数据的结束标志，输入一个圆的圆心坐标，半径为负数

25 25 3.5
7
25 28
23 27
27 27
24 23
26 23
24 29
26 29
350 200 2.0
5
350 202
350 199
350 198
348 200
352 200
995 995 10.0
4
1000 1000
999 998
990 992
1000 999
100 100 -2.5

示例输出

3
4
4

解题思路

• 对每组测试数据的n个点，只需保留在圆内的点即可，因为不在圆内的点不可能在半圆内，排除无效的点避免无效判断
• 由于我们不可能枚举半圆所有的角度，因为半圆所有的角度无限多个，即半圆的放法是有无限多种的，因此我们应该考虑哪些半圆的放法是有用的。
• 其实我们只需要枚举半圆的直径和圆内的任一点重合的情况即可，即枚举圆内的任一点在半圆的直径上的所有可能得情况下，半圆的放法，因为最优的半圆一定刚好卡上一个点，这样就才可以留充足的空间给别的点，使得半圆内的点个数最大。
  • 
• 所以我们只需暴力枚举边界（圆内的任一点在直径上），然后用叉积统计一遍在此种放置下，半圆内的点的个数，最后从所有可能的情况中取最大值即可
  • 在计算时，直径向量采取圆心指向圆内在直径上的点的表示方式，半圆在直径的左边
  • 
  • 因此，和半径向量的叉积大于等于0（逆时针方向），在半圆内；否则不在半圆内（顺时针方向）
    

解题代码

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    
    
	// 圆心和半径 
	double circle_x, circle_y, r;
	// 还有测试数据就继续 
	while (cin >> circle_x >> circle_y >> r) {
    
    
		if (r < 0) break; // 半径为负数，退出
		int n = 0; // 点的个数 
		cin >> n;
		// 存储在圆内的点 
        // 不知道为什么数组大小写n，动态创建数组，在POJ会报编译异常
		// double xi[n];
		// double yi[n];
        // 所以数组大小直接用字面量了
        double xi[100000];
        double yi[100000];
		int cnt = 0;
		for (int i=0; i<n; i++) {
    
    
			// 输入的每个点的坐标 
			double x, y;
			cin >> x >> y;
			// 只保存在圆内的点 
			if ( ((x - circle_x) * (x - circle_x) + (y - circle_y) * (y - circle_y)) <= r * r ) {
    
    
				xi[cnt] = x;
				yi[cnt] = y;
				cnt++;
			}
		}
		// 保存答案
		int ans = 0; // 在半圆内的点的最大个数 
		// 以在圆内的每个点为边界进行判断
		// 即直径在当前枚举的点的位置上 
		for (int i=0; i<cnt; i++) {
    
    
			double x = xi[i];
			double y = yi[i];
			// 直径向量
			double diameter_x = x - circle_x;
			double diameter_y = y - circle_y; 
			// 记录当前情况下的最大值
			int max_now = 0; 
			// 判断每个点是否在当前枚举的半圆内 
			for (int j=0; j<cnt; j++) {
    
    
				// 当前要判断是否在半圆内的点和圆心组成的向量 
				double vector_x = xi[j] - circle_x;
				double vector_y = yi[j] - circle_y; 
				// 通过叉积判断是否在半圆内 
				if ((vector_x * diameter_y) - (vector_y * diameter_x) >= 0) {
    
    
					max_now++;
				} 
			} 
			// 和另外半边圆的个数比较，取较大值 
			max_now = max_now > (cnt - max_now) ? max_now : (cnt - max_now);
            // 更新答案
			ans = ans < max_now ? max_now : ans;
		}
		cout << ans << endl; 
	}
} 

• 不知道为什么数组大小写n，动态创建数组，在POJ会报编译异常，所以数组大小直接用字面量了
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