充分必要条件
關於与「充分必要条件」標題相近或相同的条目，請見「因果關係」。
充分必要條件簡稱為充要條件。
處於紫色區域是處於A區域的充分條件，但并非必要條件；處於A區域是處於紫色區域的必要條件，但并非充分條件；處於A和B區域是處於紫色區域的充分必要條件。
在逻辑学中：
- 当命题「若P則Q」为真时，P称为Q的充分条件，Q称为P的必要条件。
因此：
- 当命题「若P則Q」與「若Q則P」皆为真时，P是Q的充分必要条件，同时，Q也是P的充分必要条件。
- 当命题「若P則Q」为真，而「若Q則P」为假时，我们称P是Q的充分不必要条件，Q是P的必要不充分条件，反之亦然。
必要條件
P是Q的必要條件，代表「如果P是假，則Q是假」。
以邏輯符號表示：
¬ P → ¬ Q {\displaystyle \lnot P\rightarrow \lnot Q} ¬P→¬Q{\displaystyle \lnot P\rightarrow \lnot Q}¬P→¬Q
通過否定後件，得出「如果Q是真，則P是真」。
Q → P {\displaystyle Q\rightarrow P} Q→P{\displaystyle Q\rightarrow P}Q→P
充分條件
P是Q的充分條件，代表「如果P是真，則Q是真」或「如果Q是假，則P是假」。
以邏輯符號表示：
P → Q {\displaystyle P\rightarrow Q} P→Q{\displaystyle P\rightarrow Q}P→Q
- 例子1：一個數字能被4整除，是成為偶數的充分（但不必要）條件。能被2整除，則是充分及必要條件。
必要條件及充分條件
P是Q的充分及必要條件，代表「若且唯若P是真，則Q是真」。
以邏輯符號表示：
P ↔ Q {\displaystyle P\leftrightarrow Q} P↔Q{\displaystyle P\leftrightarrow Q}P↔Q
留意 ¬ P → ¬ Q {\displaystyle \lnot P\rightarrow \lnot Q} ¬P→¬Q{\displaystyle \lnot P\rightarrow \lnot Q}¬P→¬Q 可以推出 Q → P {\displaystyle Q\rightarrow P} Q→P{\displaystyle Q\rightarrow P}Q→P。
( ¬ P → ¬ Q ) ∧ ( P → Q ) {\displaystyle (\lnot P\rightarrow \lnot Q)\land (P\rightarrow Q)} (¬P→¬Q)∧(P→Q){\displaystyle (\lnot P\rightarrow \lnot Q)\land (P\rightarrow Q)}(¬P→¬Q)∧(P→Q)
( Q → P ) ∧ ( P → Q ) {\displaystyle (Q\rightarrow P)\land (P\rightarrow Q)} (Q→P)∧(P→Q){\displaystyle (Q\rightarrow P)\land (P\rightarrow Q)}(Q→P)∧(P→Q)
P ↔ Q {\displaystyle P\leftrightarrow Q} P↔Q{\displaystyle P\leftrightarrow Q}P↔Q
舉例
1.若P表「人類生存」，Q表「人類呼吸」
¬ Q → ¬ P {\displaystyle \lnot Q\rightarrow \lnot P} ¬Q→¬P{\displaystyle \lnot Q\rightarrow \lnot P}¬Q→¬P
P → Q {\displaystyle P\rightarrow Q} P→Q{\displaystyle P\rightarrow Q}P→Q
此時呼吸是生存的必要條件，生存是呼吸的充分條件，因为活着的人一定要呼吸，
Q → P {\displaystyle Q\rightarrow P} Q→P{\displaystyle Q\rightarrow P}Q→P（錯誤）
然而呼吸并非生存的充分条件，生存并非呼吸的必要条件，因為只會呼吸並不足以讓人生存下去，
故P为Q的充分不必要条件，Q是P的必要不充分条件。
2.若P表「三角形三邊長相等」，Q表「三角形三內角相等」
P ↔ Q {\displaystyle P\leftrightarrow Q} P↔Q{\displaystyle P\leftrightarrow Q}P↔Q
此時這2個條件互為「充分（且）必要条件」。[1]