一、什么是最优二叉查找树
最优二叉查找树：
给定n个互异的关键字组成的序列K=<k1,k2,...,kn>，且关键字有序（k1<k2<...<kn），我们想从这些关键字中构造一棵二叉查找树。对每个关键字ki，一次搜索搜索到的概率为pi。可能有一些搜索的值不在K内，因此还有n+1个“虚拟键”d0,d1,...,dn，他们代表不在K内的值。具体：d0代表所有小于k1的值，dn代表所有大于kn的值。而对于i = 1,2,...,n-1,虚拟键di代表所有位于ki和ki+1之间的值。对于每个虚拟键，一次搜索对应于di的概率为qi。要使得查找一个节点的期望代价（代价可以定义为：比如从根节点到目标节点的路径上节点数目）最小，就需要建立一棵最优二叉查找树。
图一显示了给定上面的概率分布pi、qi，生成的两个二叉查找树的例子。图二就是在这种情况下一棵最优二叉查找树。
概率分布：
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
||||||
pi |
0.15 |
0.10 |
0.05 |
0.10 |
0.20 |
|
qi |
0.05 |
0.10 |
0.05 |
0.05 |
0.05 |
0.10 |
建立一棵二叉查找树，如果是的上式最小，那么这棵二叉查找树就是最优二叉查找树。
而且有下式成立：
二、最优二叉查找树的最优子结构
最优子结构：
如果一棵最优二叉查找树T有一棵包含关键字ki,..,kj的子树T'，那么这可子树T'对于关键字Ki,...,kj和虚拟键di-1,...dj的子问题也必定是最优的。可以应用剪贴法证明。
根据最优子结构，寻找最优解：
给定关键字ki,...,kj，假设kr(i<=r<=j)是包含这些键的一棵最优子树的根。其左子树包含关键字ki,...,kr-1和虚拟键di-1,...,dr-1，右子树包含关键字kr+1,...,kj和虚拟键dr,...dj。我们检查所有的候选根kr,就保证可以找到一棵最优二叉查找树。
递归解：
定义e[i,j]为包含关键字ki,...,kj的最优二叉查找树的期望代价，最终要计算的是e[1,n]。
当j = i - 1时，此时子树中只有虚拟键，期望搜索代价为e[i,i - 1] = qi-1.
当j >= i时，需要从ki,...,kj中选择一个根kr，然后分别构造其左子树和右子树。下面需要计算以kr为根的树的期望搜索代价。然后选择导致最小期望搜索代价的kr做根。
现在需要考虑的是，当一棵树成为一个节点的子树时，期望搜索代价怎么变化？子树中每个节点深度都增加1.期望搜索代价增加量为子树中所有概率的总和。
对一棵关键字ki,...,kj的子树，定义其概率总和为：
因此，以kr为根的子树的期望搜索代价为：
而
因此e[i,j]可以进一步写为：
这样推导出最终的递归公式为：
//最优二叉查找树
#include <iostream>
using namespace std;
const int MaxVal = 9999;
const int n = 5;
//搜索到根节点和虚拟键的概率
double p[n + 1] = {-1,0.15,0.1,0.05,0.1,0.2};
double q[n + 1] = {0.05,0.1,0.05,0.05,0.05,0.1};
int root[n + 1][n + 1];//记录根节点
double w[n + 2][n + 2];//子树概率总和
double e[n + 2][n + 2];//子树期望代价
void optimalBST(double *p,double *q,int n)
{
//初始化只包括虚拟键的子树
for (int i = 1;i <= n + 1;++i)
{
w[i][i - 1] = q[i - 1];
e[i][i - 1] = q[i - 1];
}
//由下到上，由左到右逐步计算
for (int len = 1;len <= n;++len)
{
for (int i = 1;i <= n - len + 1;++i)
{
int j = i + len - 1;
e[i][j] = MaxVal;
w[i][j] = w[i][j - 1] + p[j] + q[j];
//求取最小代价的子树的根
for (int k = i;k <= j;++k)
{
double temp = e[i][k - 1] + e[k + 1][j] + w[i][j];
if (temp < e[i][j])
{
e[i][j] = temp;
root[i][j] = k;
}
}
}
}
}
//输出最优二叉查找树所有子树的根
void printRoot()
{
cout << "各子树的根：" << endl;
for (int i = 1;i <= n;++i)
{
for (int j = 1;j <= n;++j)
{
cout << root[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << endl;
}
//打印最优二叉查找树的结构
//打印出[i,j]子树，它是根r的左子树和右子树
void printOptimalBST(int i,int j,int r) //r传入后当做此棵子树的父节点
{
int rootChild = root[i][j];//子树根节点
if (rootChild == root[1][n])
{
//输出整棵树的根
cout << "k" << rootChild << "是根" << endl;
printOptimalBST(i,rootChild - 1,rootChild);
printOptimalBST(rootChild + 1,j,rootChild);
return;
}
if (j < i - 1) //i-1也就是子树的根节点，j==i-1是子树为空的情况 //自然不存在j<i-1
{
return;
}
else if (j == i - 1)//遇到虚拟键 //j==i-1是子树为空的情况 ，也就是虚拟键
{
if (j < r)
{
cout << "d" << j << "是" << "k" << r << "的左孩子" << endl; //左子树是虚拟键
}
else
cout << "d" << j << "是" << "k" << r << "的右孩子" << endl; //右子树是虚拟键
return;
}
else//遇到内部结点 ，也就是实际数值
{
if (rootChild < r)
{
cout << "k" << rootChild << "是" << "k" << r << "的左孩子" << endl;
}
else
cout << "k" << rootChild << "是" << "k" << r << "的右孩子" << endl;
}
printOptimalBST(i,rootChild - 1,rootChild);
printOptimalBST(rootChild + 1,j,rootChild);
}
int main()
{
optimalBST(p,q,n);
printRoot();
cout << "最优二叉树结构：" << endl;
printOptimalBST(1,n,-1);
}
输出结果：
参考：https://blog.csdn.net/llwszjj/article/details/16829447