变限积分求导

前置知识：牛顿-莱布尼茨公式

介绍

形如

$$G(x)={\int }_{v(x)}^{u(x)}f(t)dt$$

的积分称为变限积分。

由牛顿-莱布尼茨公式可得，

$$G^{\prime }(x)=F^{\prime }(u(x))u^{\prime }(x)-F^{\prime }(v(x))v^{\prime }(x)=f(u(x))u^{\prime }(x)-f(v(x))v^{\prime }(x)$$

那么我们就可以用这个式子来求变限积分的导数了。

例题1

令$F(x)={\int }_1^{x^2}{e}^{t}dt$，求$F^{\prime }(x)$

解：
$F^{\prime }(x)=e^{x^2}\cdot 2x-e^1\cdot 0=2x{e}^{x^2}$

例题2

计算$\underset{x\to 0}{\lim }\int \frac{{\int }_0^x\sin t^{2}dt}{x^2\ln (1+x)}$

解：
\qquad 由无穷小代换，原式$=\underset{x\to 0}{\lim }\int \frac{{\int }_0^x\sin t^{2}dt}{x^2\cdot x}$

\qquad 由洛必达法则，原式$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x^2}{3x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{3x^2}=\frac{1}{3}$