线性方程组的数值解法

一、数学原理
线性方程组 Ax=b 有惟一解，经过变换构造出一个等价同解方程组将上式改写成迭代式: ， 选定初始向量 ，反复不断地使用迭代式，逐步逼近方程组的精确解，直到满足精度要求为止，这种方法称为迭代法。
对于给定的方程组可以构造各种迭代公式，但并非全部收敛 。其适用范围是迭代矩阵的谱半径小于1，即：。常用的迭代法有两种：雅克比迭代和Gauss–Saidel迭代。

雅克比迭代：

二、实验内容
分别计算Jacobi迭代法和Gauss–Saidel迭代法其迭代矩阵的谱半径，再用Gauss–Saidel迭代法求解下列线性方程组(3-1)，用误差估计e≤10−6和最大迭代次数Nmax=500来控制迭代次数。

代码部分：

 format compact
 clc,clear;
 e=1e-6; 
 Nmax=500; 
 A0=[4,3,0;3,4,-1;0,-1,4];     
 n=length(b0);
 %Jacobi迭代法谱半径的计算
 disp('Jacobi迭代法谱半径:')
 D=diag(diag(A0));
 pJ=max(abs(eig(inv(D)*(D-A0))));   ）
 fprintf('ρ(J)=%f\n',pJ); 
 %Gauss--Saidel迭代法谱半径的计算
 disp('Gauss--Saidel迭代法谱半径:')
 A1=tril(A0);        
 A2=triu(A0);       
 L=D-A1;
 U=D-A2;
 G=(inv(D-L))*U;
 pG=max(abs(eig(G)));
 fprintf('ρ(G)=%f\n',pG);
  %Gauss--Saidel迭代法求解线性方程组，矩阵形式
 x0=[0,0,0]';    %x0赋初值为(0,0,0)'
 x=x0;x0=x+2*e;k=0;
 b=b0';
 A=A0;
 A1=tril(A0);        
 iA1=inv(A1);      
 disp('Gauss--Saidel迭代法:')
 while norm(x0-x,inf)>e&&k<Nmax 
     k=k+1;x0=x;
     x=iA1*(A1-A0)*x0+iA1*b;            
 end 
 if k==Nmax 
     warning('已达到迭代上限次数，Gauss--Saidel迭代法失效');
 else
     x=x';
     fprintf('         解向量            迭代次数\n');
    fprintf('%3.2f     %3.2f    %3.2f      %d\n',x,k);
 end

二、实验结果