每日一题之hiho 1798 “666“ （数位dp 好题）

描述
如果一个数字字符串（只包含0-9，可以有前导0）中出现且只出现1次666，我们就称这个字符串是好的。

例如1666、03660666是好的，6666、66、123不是好的。

请你计算长度为N的数字字符串中，有多少个是好的。由于总数可能很大，你只需要输出总数模1000000007的余数。

输入
一个整数N。

对于30%的数据，1 ≤ N ≤ 8

对于100%的数据，1 ≤ N ≤ 1000

输出
一个整数代表答案。

样例输入
4
样例输出
18

思路：

这题是真的比较巧妙，之前没遇到过。dp主要是状态转移方程难想，这题的状态转移方程确实妙！
首先题目要求只出现一次666且包括前导0的情况。所以只要找出6连续出现的情况就好办了，dp的思想就是把原问题分解为子问题求解，比如当n=4的时候666连续的情况可以分解为XXY6 + 66YX和66YX+6YXX的两种情况这里 $Y \neq 6$ . 于是我们可以用 $dp[i][j]$ 表示数字串长度为 i 且是以几个6开头的情况。 $j = 0,1,2$ 分别表示不是以6开头，开头只有1个6，开头有两个6的情况。下面来看转移方程：
1. 第一种情况： j=0 时表示数字串长度为 i 时开头不是6， $dp[i][0] = dp[i-1][0.1.2] * 9$ 表示不管第 i-1 位以什么数字开头都可以再在第 i 位填上 0，1，2，3，4，5，7，8，9 这九个数
2. 第二种情况： j = 1时表示数字长度为 i 时开头是一个6， $d[i][1] = dp[i-1][0]$ ，表示在第 i + 1位只填6，且保证第i位不能为6的情况
3. 第三种情况: j = 2时表示数字长度为 i 时开头前两位都是6 $dp[i][2] = dp[i-1][1]$ ，同上，且保证第i为是6。

得到上面的计数之后怎么统计得到答案呢？
由于我们把666分解成了 6 + 66 和 66 + 6 这样的形式且我们统计的也是由6开头的情况，那么我们只要把 $dp[i][1]$ 和 $dp[n-i][2]$ 这里面的数头对头拼起来就得到了长度为n的数字串且666只出现一次的情况。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;

const int maxn = 1e3+5;
const int mod = 1e9+7;

long long dp[maxn][3]; //dp[i][j] 表示长度为i的数字串的开头有几个6的情况 

void solve(int n)
{
    dp[0][0] = 1;

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        dp[i][0] = (dp[i-1][0] + dp[i-1][1] + dp[i-1][2])*9 % mod;
        dp[i][1] = dp[i-1][0];
        dp[i][2] = dp[i-1][1]; 
    }
    long long res = 0;
    for (int i = 1; i <= n-2; ++i) {
        res = (res + (dp[i][1]*dp[n-i][2])%mod);
        res %= mod;
    }

    cout << res << endl;
}

int main()
{

    int n;
    cin >> n;
    solve(n);

    return 0;
}

每日一题 之hiho 1798 “666“ （数位dp 好题）

思路：

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