在标准Z变换下，连续系统的离散化计算方法

*本文只介绍计算方法，并不涉及计算原理。

1. 连续系统形式

对于一个线性定常连续系统，其一般形式为
$$W(s)=\frac{b_m{s}^m+b_{m-1}{s}^{m-1}+\cdots +b_{1}s+b_0}{a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0}\left(n,m\in Z,n\ge m\right)$$设其极点为$s=-d_i\left(i=1,\cdots ,n\right)$，则上式可以化为
$$W(s)=\sum _i^n\frac{c_i}{s+d_i}\text{\hspace{1em}(1)}$$其中系数$c_i$可用留数定理计算：
$$c_i=W(s)\left(s+d_i\right){|}_{s=-d_i}$$

2. 极点代换

连续系统为$s$域，离散系统为$z$域，两者之间存在变量代换。变量代换具有如下形式：
$$\frac{1}{s+d_i}\to \frac{1}{1-z^{-1}{e}^{-d_{i}T}}\text{\hspace{1em}(2)}$$其中$T$为离散化时间单位（如0.01s）。
把式(1)中的每一项代换成式(2)的形式，即可将连续系统传函$W(s)$转换成其极点代换形式$W_d(z)$。

3. 等效离散系统

在得到了极点代换形式$W_d(s)$的基础上，通过如下公式得到原连续系统$W(s)$的等效离散系统$W(z)$：
$$W(z)=\frac{\left|W\left(j\omega \right)\right|}{\left|W_d\left(e^{j\omega T}\right)\right|}{W}_d(z)\text{\hspace{1em}(3)}$$其中$|W(\cdot )|$指$W(\cdot )$的模值；$T$为离散化时间单位，根据实际问题取值；$\omega$取1。

4. 计算举例

以如下传递函数为例，计算其等效离散系统的传函。离散化时间间隔$T=0.01s$。
$$W(s)=\frac{s+1}{s^2+12s+32}=\frac{s+1}{(s+4)(s+8)}$$(1) 首先利用留数定理将其写成式(1)形式。
$$\begin{gathered} c_1=W(s)(s+4){|}_{s=-4}=\frac{s+1}{s+8}{|}_{s=-4}=-0.75 \\ {c}_2=W(s)(s+8){|}_{s=-8}=\frac{s+1}{s+4}{|}_{s=-8}=1.75 \end{gathered}$$于是$$W(s)=\frac{c_1}{s+d_1}+\frac{c_2}{s+d_2}=\frac{-0.75}{s+4}+\frac{1.75}{s+8}$$
(2) 极点代换。根据式(2)，可以得到极点代换形式的传函：
$$\begin{array}{rl}{W}_d(z)& =\frac{c_1}{1-z^{-1}{e}^{-d_{1}T}}+\frac{c_2}{1-z^{-1}{e}^{-d_{2}T}}\\ & =\frac{-0.75}{1-z^{-1}{e}^{-4T}}+\frac{1.75}{1-z^{-1}{e}^{-8T}}{|}_{T=0.01}\\ & =\frac{-0.75}{1-z^{-1}{e}^{-0.04}}+\frac{1.75}{1-z^{-1}{e}^{-0.08}}\\ & =\frac{-0.75}{1-0.96079z^{-1}}+\frac{1.75}{1-0.92312z^{-1}}\\ & =\frac{1-0.98904z^{-1}}{1-1.88391z^{-1}+0.88692z^{-2}}\\ & =\frac{z^2-0.98904z}{z^2-1.88391z+0.88692}\end{array}$$
(3) 等效离散系统。根据式(3)，需要先计算两个模值$\left|W\left(j\omega \right)\right|$和$\left|W_d\left(e^{j\omega T}\right)\right|$。对于前者：
$$\begin{array}{rl}\left|W\left(j\omega \right)\right|& =|\frac{s+1}{(s+4)(s+8)}{|}_{s=j\omega }\\ & =\frac{\sqrt{{\omega }^2+1}}{\sqrt{{\omega }^2+4^2}\sqrt{{\omega }^2+8^2}}{|}_{\omega =1}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{17}\sqrt{65}}=0.04254\end{array}$$对于后者：
$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\left|W_d\left(e^{j\omega T}\right)\right|& =|\frac{z^2-0.98904z}{z^2-1.88391z+0.88692}{|}_{z=e^{j\omega T}}\\ & =|\frac{e^{2j\omega T}-0.98904e^{j\omega T}}{e^{2j\omega T}-1.88391e^{j\omega T}+0.88692}{|}_{T=0.01, \\ \omega =1}\\ & =\left|\frac{e^{0.02j}-0.98904e^{0.01j}}{e^{0.02j}-1.88391e^{0.01j}+0.88692}\right|\\ & =\left|\frac{\left(\cos 0.02+j\sin 0.02\right)-0.98904\left(\cos 0.01+j\sin 0.01\right)}{\left(\cos 0.02+j\sin 0.02\right)-1.88391\left(\cos 0.01+j\sin 0.01\right)+0.88692}\right|\\ & =\left|\frac{0.01081+0.01011j}{0.002904+0.0011599j}\right|\\ & =|4.40952+1.72018j|=4.73317\end{array} \end{gathered}$$代入(3)，即可得到离散系统的传函：
$$\begin{array}{rl}W(z)& =\frac{\left|W\left(j\omega \right)\right|}{\left|W_d\left(e^{j\omega T}\right)\right|}{W}_d(z)=\frac{0.04254}{4.73317}{W}_d(z)\\ & =0.008988\frac{z^2-0.98904z}{z^2-1.88391z+0.88692}\\ & =\frac{0.008988z^2-0.008889z}{z^2-1.88391z+0.88692}\end{array}$$