AR模型中方差计算——Green函数

Green函数

  在大三学习时间序列时也没有怎么弄懂，此次重新回顾一番，希望能有更深的理解。
  在时序分析中，Green函数出现在AR模型的方差计算中,用于计算AR模型的方差。

定义

  假设$x_t$为任意阶数的AR模型，那么一定存在一个常数序列 { G j } ( j = 0 , 1 , 2 , . . . ) \{G_j\}(j=0,1,2,...) { Gj​}(j=0,1,2,...),使得$x_t$可以等价表达为纯随机序 { ϵ t } \{\epsilon_t\} { ϵt​}的线性组合，即：
$$x_t=G_0{ϵ}_t+G_1{ϵ}_{t-1}+G_2{ϵ}_{t-2}+...$$
这个常数序列 { G j } \{G_j\} { Gj​}就称为Green函数。
我们知道，引入延迟算子时，p阶AR模型可以表示为：
$$\Phi (B)x_t={ϵ}_t$$
其中$\Phi (B)=1-{\varphi }_{1}B-{\varphi }_2{B}^2-...-{\varphi }_p{B}^p$。
而$x_t$又可以用Green函数等价表达为：
$$x_t=G(B){ϵ}_t$$
其中$G(B)=G_0+G_{1}B+G_2{B}^2+...$。
两式合并，可得到：
$$\Phi (B)G(B){ϵ}_t={ϵ}_t$$
左式可写为：
$$(1-\sum _{k=1}^p{\varphi }_k{B}^k)(\sum _{j=0}^{\infty }{G}_j{B}^j){ϵ}_t={ϵ}_t$$
展开可得：
$$(1-{\varphi }_{1}B-{\varphi }_2{B}^2-...-{\varphi }_p{B}^p)(G_0+G_{1}B+G_2{B}^2+...){ϵ}_t={ϵ}_t$$
观察$B^t$系数：
$$B^0:G_0$$
$$B^1:G_1-G_0{\varphi }_1$$
$$B^2:G_2-G_0{\varphi }_2-G_1{\varphi }_1$$
$$...$$
$$B^p：G_p-G_0{\varphi }_p-G_1{\varphi }_{p-1}-G_2{\varphi }_{p-2}-...-G_{p-1}{\varphi }_1$$
$$B^{p+1}：G_{p+1}-G_1{\varphi }_p-G_2{\varphi }_{p-1}-G_3{\varphi }_{p-2}-...-G_p{\varphi }_1$$
$$B^{p+2}：G_{p+2}-G_2{\varphi }_p-G_3{\varphi }_{p-1}-...-G_p{\varphi }_2$$
$$\Phi (B)G(B){ϵ}_t=[G_0-\sum _{j=1}^{\infty }(G_j-\sum _{k=0}^j{G}_k{\varphi }_{j-k})B_j]{ϵ}_t={ϵ}_t$$
要使等号两边成立，即要满足两个条件：
$$\{\begin{array}{l}{G}_0=1\\ {\sum }_{j=1}^{\infty }(G_j-{\sum }_{k=0}^j{\varphi }_k^{{}^{\prime }}{G}_{j-k})=0,\forall j\ge 1\end{array}$$
其中：
$$\varphi (k)=\{\begin{array}{l}{\varphi }_k,k<=p\\ 0,k>p\end{array}$$
由此可得到任意平稳的p阶AR模型的Green函数递推公式为：
$$G_j=\{\begin{array}{l}1,j=0\\ {\sum }_{k=0}^j{\varphi }_k^{{}^{\prime }}{G}_{j-k},j\ge 1\end{array}$$