均值与方差计算

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by luoshi006

均值 与 方差 的数值计算方法。

在阅读 px4 代码时遇到了求取均值与方差的代码实现，比较优美：

https://github.com/PX4/ecl/blob/master/validation/data_validator.cpp#L88-L114

for (unsigned i = 0; i < dimensions; i++) {
        if (_time_last == 0) {
            _mean[i] = 0;
            _lp[i] = val[i];
            _M2[i] = 0;
        } else {
            float lp_val = val[i] - _lp[i];

            float delta_val = lp_val - _mean[i];
            _mean[i] += delta_val / _event_count;
            _M2[i] += delta_val * (lp_val - _mean[i]);
            _rms[i] = sqrtf(_M2[i] / (_event_count - 1));

            if (fabsf(_value[i] - val[i]) < 0.000001f) {
                _value_equal_count++;
            } else {
                _value_equal_count = 0;
            }
        }

        _vibe[i] = _vibe[i] * 0.99f + 0.01f * fabsf(val[i] - _lp[i]);

        // XXX replace with better filter, make it auto-tune to update rate
        _lp[i] = _lp[i] * 0.99f + 0.01f * val[i];

        _value[i] = val[i];
    }

对其分析如下：

以下公式中，约定 $v_j$ 表示样本中第 $j$ 个值。

平均值

$$\begin{alignat}{3} mean_n &=\frac{ v_1+v_2+...+v_n}{n} \\ &=\frac{ mean_{n-1}*(n-1)+v_n}{n} \\ &\color{blue}{= mean_{n-1}+\frac{v_n-mean_{n-1}}{n}}\ \end{alignat}$$

即：

//此处代码为 PX4 validator 代码：
float delta_val = lp_val - _mean[i];
_mean[i] += delta_val / _event_count;

---

样本方差

$$RMS = \frac{\sum{(v_n-mean_n)^2}}{n-1}$$

方差在统计中，分母为 $n-1$ ，是为了保证估计的无偏性。

//此处代码为 PX4 validator 代码：
_M2[i] += delta_val * (lp_val - _mean[i]);
_rms[i] = sqrtf(_M2[i] / (_event_count - 1));

此处，_M2[i] 的计算公式如下：

$$\begin{alignat}{3} _M2 &= (v_n-m_{n-1})(v_n-m_n)\\ &=(v_n-m_{n-1})(v_n-m_{n-1}-\frac{v_n-m_{n-1}}{n})\\ &=(\frac{n-1}{n})(v_n-m_{n-1})^2 \end{alignat}$$

时间仓促，此公式未查到出处，怀疑与下一行分母的 $n-1$ 有关。

存疑，待查证。