什么是纠删码
Erasure Code（简称 EC），即纠删码，是一种前向错误纠正技术（Forward Error Correction，FEC），主要应用在网络传输中避免包的丢失，存储系统利用它来提高存储、可靠性。相比多副本复制而言，纠删码能够以更小的数据冗余度获得更高数据可靠性，但编码方式较复杂，需要大量计算。纠删码只能容忍数据丢失，无法容忍数据篡改，纠删码正是得名与此。
EC 的定义：Erasure Code 是一种编码技术，它可以将 n 份原始数据，增加 m 份数据，并能通过 n+m 份中的任意 n 份数据，还原为原始数据。即如果有任意小于等于 m 份的数据失效，仍然能通过剩下的数据还原出来。
目前，纠删码技术在分布式存储系统中的应用主要有三类，阵列纠删码（Array Code: RAID5、RAID6等）、RS(Reed-Solomon)里德-所罗门类纠删码和 LDPC(LowDensity Parity Check Code)低密度奇偶校验纠删码。
RAID 是 EC 的特殊情况。在传统的 RAID 中，仅支持有限的磁盘失效，RAID5 只支持一个盘失效，RAID6 支持两个盘失效，而 EC 支持多个盘失效。
EC 主要运用于存储和数字编码领域。例如磁盘阵列存储（RAID 5、RAID 6），云存储（RS）等。
LDPC 码也可以提供很好的保障可靠性的冗余机制。与 RS 编码相比，LDPC 编码效率要略低，但编码和解码性能要优于 RS 码以及其他的纠删码，主要得益于编解码采用的相对较少并且简单的异或操作。LDPC 码目前主要用于通信、视频和音频编码等领域。
本文主要讲解 RS 类纠删码。
Reed-Solomon Code
RS code是基于有限域的一种编码算法，有限域又称为Galois Field，是以法国著名数学家伽罗华（Galois）命名的，在RS code中使用GF(2^w)，其中2 ^w >= n + m。
RS code 的编解码定义如下：
❝
编码：给定 n 个数据块（Data block）D1、D2……Dn，和一个正整数 m，RS 根据 n 个数据块生成 m 个编码块（Code block），C1、C2……Cm。
❞
RS 编码以 word 为编码和解码单位，大的数据块拆分到字长为 w（取值一般为8或者16位）的 word，然后对 word 进行编解码。数据块的编码原理与 word 编码原理相同，后文中一 word 为例说明，变量 Di, Ci 将代表一个 word。
把输入数据视为向量D=(D1，D2，…, Dn）, 编码后数据视为向量（D1, D2,…, Dn, C1, C2,…, Cm)，RS 编码可视为如下图所示矩阵运算。
上图最左边是编码矩阵（或称为生成矩阵、分布矩阵，Distribution Matrix），编码矩阵需要满足任意n*n子矩阵可逆。
为方便数据存储，编码矩阵上部是单位阵（n行n列），下部是m行n列矩阵。下部矩阵可以选择范德蒙德矩阵或柯西矩阵。
RS code编码数据恢复原理
RS最多能容忍m个数据块被删除。数据恢复的过程如下：
（1）假设D1、D4、C2丢失，从编码矩阵中删掉丢失的数据块/编码块对应的行。
根据图1所示RS编码运算等式，可以得到如下B’ 以及等式。
（2）由于B’ 是可逆的，记B’的逆矩阵为 (B’^-1)，则B’ * (B’^-1) = I 单位矩阵。两边左乘B’ 逆矩阵
（3）得到如下原始数据D的计算公式
即恢复原始数据D：
4）对D重新编码，可得到丢失的编码码
RS code编码的限制
数据恢复代价高和数据更新代价高，因此常常针对只读数据，或者冷数据。
RS编码依赖于两张2^w-1大小的log表， 通常只能采用16位或者8位字长，不能充分利用64位服务器的计算能力， 具体实现上可能要做一些优化。
RS编码升级
RS编码后的数据，如果丢失了一块，恢复丢失的数据需要最少读取n块数据。在生产环境中，硬盘故障经常发生，恢复数据对网络IO和CPU都会有较大的消耗。
因此有些公司在EC编码的基础上做了一些改进，使用LRC或SEC替换RS编码。
LRC - Locally Repairable Code 本地副本存储
LRC编码与RS编码方式基本相同，同时增加了额外的数据块副本。 LRC编码本质上是RS编码+2副本备份。
LRC编码步骤如下：
对原始数据使用RS编码，例如编码为4：2，编码结果为4个数据块：D1、D2、D3、D4，2个编码块C1、C2；
原始数据做2副本，将4个数据块的前2个数据块和后2个数据块，分别生成2个编码块，即R1=D1D2，R2=D3D4；
如果某一个数据块丢失，例如D2丢失，则只需要R1和D1即可恢复D2；
LRC的编码矩阵中增加了步骤b的2副本编码，样子如下：
SEC - Sparse Erasure Code 稀疏纠删码
LRC编码中只对数据块做了2副本，当编码块丢失时，仍然需要读取n块数据来重新计算编码块。
SEC编码中对数据块和编码块都做增加了校验块。
SEC编码本质上是RS编码+奇偶校验块。 SEC编码步骤如下：
对原始数据使用RS编码，例如编码为4：2，编码结果为4个数据块：D1、D2、D3、D4，2个编码块C1、C2；
生成D1D2的校验块X1，D3D4的校验块X2，C1C2的校验块X3；
当数据块或编码块中的某一个丢失时，例如C2丢失，通过C1和校验块X3即可恢复C2；
SEC同样通过增加存储块，减少了恢复数据是的网络和CPU开销。