目录
1. 树型结构
1.1 概念
树是一种
非线性
的数据结构，它是由
n
（
n>=0
）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。
把它叫做树是因为它看
起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的
。它具有以下的特点：
- 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
- 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
- 树是递归定义的。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
1.2 概念
结点的度
：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：
A
的度为
6
树的度
：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为
6
叶子结点或终端结点
：度为
0
的结点称为叶结点； 如上图：
B
、
C
、
H
、
I...
等节点为叶结点
双亲结点或父结点
：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：
A
是
B
的父结点
孩子结点或子结点
：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：
B
是
A
的孩子结点
根结点
：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：
A
结点的层次
：从根开始定义起，根为第
1
层，根的子结点为第
2
层，以此类推
树的高度或深度
：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为
4
树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：
非终端结点或分支结点
：度不为
0
的结点； 如上图：
D
、
E
、
F
、
G...
等节点为分支结点
兄弟结点
：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：
B
、
C
是兄弟结点
堂兄弟结点
：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：
H
、
I
互为兄弟结点
结点的祖先
：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：
A
是所有结点的祖先
子孙
：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是
A
的子孙
森林
：由
m
（
m>=0
）棵互不相交的树组成的集合称为森林
1.3 树的表示形式
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：
双亲表示法
，
孩子表示法
、
孩子双亲表示法
、
孩子兄弟表示法
等等。我们这里就简单的了解其中最常用的
孩子兄弟表示法
。
class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}
1.4 树的应用
文件系统管理（目录和文件）
2. 二叉树
2.1 概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
1.
或者为空
2.
或者是由
一个根节
点加上两棵别称为
左子树
和
右子树
的二叉树组成。
从上图可以看出：
1.
二叉树不存在度大于
2
的结点
2.
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
2.2 两种特殊的二叉树
1.
满二叉树
:
一棵二叉树，如果
每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树
。也就是说，
如果一棵
二叉树的层数为
K
，且结点总数是
，则它就是满二叉树
。
2.
完全二叉树
:
完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为
K
的，有
n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K
的满二叉树中编号从
0
至
n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.3 二叉树的性质
1.
若规定
根结点的层数为
1
，则一棵
非空二叉树的第
i
层上最多有
(i>0)
个结点
2.
若规定只有
根结点的二叉树的深度为
1
，则
深度为
K
的二叉树的最大结点数是(k>=0)
3.
对任何一棵二叉树
,
如果其
叶结点个数为
n0,
度为
2
的非叶结点个数为
n2,
则有
n0
＝
n2
＋
1
4.
具有
n
个结点的完全二叉树的深度
k
为
上取整
5.
对于具有
n
个结点的完全二叉树
，如果按照
从上至下从左至右的顺序对所有节点从
0
开始编号
，则对于
序号为
i
的结点有
：
- 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
- 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
- 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
2.4 二叉树的存储
二叉树的存储结构
分为：
顺序存储
和
类似于链表的链式存储
。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式
，具体如下：
// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}
孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。
2.5 二叉树的基本操作
2.5.1 前置说明
public class BinaryTree{
public static class BTNode{
BTNode left;
BTNode right;
int value;
BTNode(int value){
this.value = value;
}
}
private BTNode root;
public void createBinaryTree(){
BTNode node1 = new BTNode(1);
BTNode node1 = new BTNode(2);
BTNode node1 = new BTNode(3);
BTNode node1 = new BTNode(4);
BTNode node1 = new BTNode(5);
BTNode node1 = new BTNode(6);
root = node1;
node1.left = node2;
node2.left = node3;
node1.right = node4;
node4.left = node5;
node5.right = node6;
}
}
注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。
2.5.2 二叉树的遍历
1.
前中后序遍历
二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓
遍历
(Traversal)
是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结
点均做一次且仅做一次访问
。
访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题
(
比如：打印节点内容、节点内容加
1)
。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。
在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，
如果按
照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的
。如果
N
代表根节点，
L
代表根节点的左子树，R
代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
- NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
- LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
- LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。
在前几篇文章中我已经写了二叉树的前中后序遍历，这里我就不在写了。
2.
层序遍历
层序遍历
：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1
，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第
2
层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
2.5.3 二叉树的基本操作
/*
获取叶子节点的个数：遍历思路
*/
public static int leafSize = 0;
int getLeafNodeCount1(TreeNode root) {
if (root == null){
return 0;
}
Deque<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while(!queue.isEmpty()){
TreeNode node = queue.poll();
if (node.left != null){
queue.offer(node.left);
}
if (node.right != null){
queue.offer(node.right);
}
if (node.left==null && node.right==null){
leafSize++;
}
}
return leafSize;
}
/*
获取叶子节点的个数：子问题
*/
int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {
if (root == null){
return 0;
}
if (root.right==null && root.left==null){
return 1;
}
return getLeafNodeCount2(root.left)+getLeafNodeCount2(root.right);
}
/*
获取第K层节点的个数
*/
int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {
if (root==null || k<=0){
return 0;
}
if (k == 1){
return 1;
}
return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
}
/*
获取二叉树的高度
时间复杂度：O(N)
*/
int getHeight(TreeNode root) {
if (root == null){
return 0;
}
if (root.left==null && root.right==null){
return 1;
}
return 1+Math.max(getHeight(root.left),getHeight(root.right));
}
// 检测值为value的元素是否存在
Boolean find(TreeNode root, char val) {
if (root == null){
return false;
}
if (root.val == val){
return true;
}
return find(root.left,val)||find(root.right,val);
}
//层序遍历
void levelOrder(TreeNode root) {
Deque<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()){
TreeNode node = queue.poll();
System.out.print(node.val + " ");
if (node.left != null){
queue.offer(node.left);
}
if (node.right != null){
queue.offer(node.right);
}
}
System.out.println();
}
// 判断一棵树是不是完全二叉树
boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
Deque<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
boolean isStep1 = true;
while(!queue.isEmpty()){
TreeNode node = queue.poll();
if(isStep1){
if(node.left!=null && node.right!=null){
queue.offer(node.left);
queue.offer(node.right);
}else if(node.left != null){
queue.offer(node.left);
isStep1 = false;
}else if(node.right != null){
return false;
}else{
isStep1 = false;
}
}else{
if(node.left!=null || node.right!=null){
return false;
}
}
}
return true;
}