《数据结构》第一章绪论

第一章绪论

1.数据结构的基本概念

1.1、基本概念

1.数据：
数据是信息的载体，是描述客观事物属性的数、字符及所有能输入到计算机中并被计算机程序识别和处理的符号的集合。数据是计算机程序加工的原料。

2.数据元素：
数据元素是数据的基本单位，通常作为一个整体进行考虑和处理。一个数据元素可由若干数据项组成，数据项是构成数据元素的不可分割的最小单位。

要根据实际的业务需求来确定什么是数据元素、什么是数据项

例如：

3.数据结构
数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。
在任何问题中，数据元素都不是孤立存在的，它们之间存在某种关系，这种数据元素相互之间的关系成为结构(Structure)。
数据结构包括三方面的内容：逻辑结构、存储结构、数据的运算


4.数据对象
数据对象是具有相同性质的数据元素的集合，是数据的一个子集。
数据结构：某个特定门店的排队顾客信息和它们之间的关系
数据对象：全国所有门店的排队顾客信息


5.数据类型
数据类型是一个值的集合和定义在此集合上的一组操作的总称。

1）原子类型：其值不可再分的数据类型。

2）结构类型：其值可以再分解为若干成分(分量)的数据类型

3）抽象数据类型(ADT)是指一个数学模型以及定义在该模型上的一组操作。

定义一个ADT,就是定义了数据的逻辑结构、数据的运算。也就是定义了一个数据结构

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定义抽象数据类型的格式：

ADT 抽象数据类型名{
	数据对象:<数据对象的定义>
	数据关系:<数据关系的定义>
	基本操作:<基本操作的定义>
}ADT 抽象数据类型名	

1.2、数据结构三要素

1.2.1、逻辑结构

数据元素之间的逻辑关系是什么？

集合

各个元素同属一个集合，别无其他关系

线性结构

数据元素之间是一对一的关系。除了第一个元素，所有元素都有唯一前驱；除了最后一个元素，所有元素都有唯一后续

树形结构

数据元素之间是一对多的关系

图形结构（网状结构）

数据元素之间是多对多的关系

1.2.2、存储结构

如何用计算机表示数据元素的逻辑关系？

顺序存储

把逻辑上相邻的元素存储在物理位置上也相邻的存储单元中，元素之间的关系由存储单元的邻接关系来体现

• 优点是可以实现随机存取，每个元素占用最少的存储空间
• 缺点是只能使用相邻的一整块存储单元，因此可能会产生较多的外部碎片

链式存储

逻辑上相邻的元素在物理位置上可以不相邻，借助指示元素存储地址的指针来表示元素之间的逻辑关系

• 优点是不会出现碎片现象，能充分利用所有的存储单元
• 缺点是每个元素因存储指针而占用额外的存储空间，且只能实现顺序存取
  

索引存储

在存储元素信息的同时，还建立附加的索引表。索引表中的每项称为索引项，索引项的一般形式是(关键字，地址)

• 优点是检索速度快
• 缺点是附加的索引表额外占用空间。另外，增加和删除数据时也要修改索引表，因而会花费较多的时间

散列存储

根据元素的关键字直接计算出该元素的存储地址，又称哈希存储

• 优点是检索、增加和删除结点的操作都很快
• 缺点是若散列函数不好，则可能出现元素存储单元的冲突，而解决冲突会增加时间和空间的消耗开销

详情见第六章散列表

注：

1.若采用顺序存储，则各个数据元素在物理上必须是连续的：若采用非顺序存储，则各个数据元素在物理上可以是离散的。
2.数据的存储结构会影响存储空间分配的方便程度。
例如：有人想插队
3.数据的存储结构会影响对数据运算的速度。
例如：想找到第三个人

1.2.3、数据的运算

运算的定义是针对逻辑结构的，指出运算的功能

运算的实现是针对存储结构的，指出运算的具体步骤

当增加一个999号，通过顺序存储和链式存储实现。

1.3、思维导图总结

2、算法的基本概念

2.1、算法特性

有穷性：一个算法必须总在执行有穷步之后结束，且每一步都可在有穷时间内完成
注： 算法必须是有穷的，而程序可以是无穷的。

确定性:算法中每条指令必须有确切的含义，对于相同的输入只能得出相同的输出。

可行性：算法中描述的操作都可以通过已经实现的基本运行执行有限次来实现。

输入：一个算法有零个或多个输入，这些输入取自于某个特定的对象的集合。

输出：一个算法有一个或多个输出，这些输出是与输入有着某种特定关系的量。

2.2、“好”算法的特质

1）正确性：算法应能正确地解决求解问题。

2）可读性：算法应具有良好的可读性，以帮助人们理解。

3）健壮性：输入非法数据时，算法能适当地做出反应或进行处理，而不会产生莫名其妙的输出结果。

4）高效性和低存储量需求。
高效性：执行速度快，时间复杂度低。
低存储量需求：不费内存，空间复杂度低。

2.3、思维导图总结

3、算法的效率

3.1、时间复杂度

度量一个程序的执行时间通常有事后统计的方法和事前分析估算的方法这两种方法。

事后统计的方法：这种方法用两种缺陷：一是必须先运行依据算法编制的程序；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有事容易掩盖算法本身的优劣。因此人们常常采用另一种事前分析估算的方法。

事前分析估算的方法：一个用高级程序语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：

• 依据的算法选用何种策略
• 问题的规模，例如求100以内还是求1000以内的素数
• 书写程序的语言，对于同一个算法，实现语言的级别越高，执行效率就越低
• 编译程序所产生的机器代码的质量
• 机器执行指令的速度

时间复杂度：$T(n)=O(n)$
它表示随问题的规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同

{
    
    ++x;s=0;}
//时间复杂度：O(1)
for(i=1;i<=n;++i){
    
    
	++x;
	s+=x;
}
//时间复杂度：O(n)
for(j=1;j<=n;++j){
    
    
	for(k=1;k<=n;++k){
    
    
		++x;
		s+=x;
	}
}
//时间复杂度：O(n*n)

注：时间复杂度可以只考虑阶数高的部分

算法有两条运算规则：

加法规则：
$T(n)=T_1(n)+T_2(n)=O(f(n))+O(g(n))=O(max(f(n),g(n)))$
多项相加，只保留最高阶的项，且系数变为1

乘法规则：
$T(n)=T_1(n)\ast T_2(n)=O(f(n))\ast O(g(n))=O(f(n)\ast g(n))$
多项相乘，都保留

常见的渐进时间复杂度为:
$O(1)<O(lo{g}_{2}n)<O(n)<O(nlo{g}_{2}n)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<0(n^n)$

Eg:
$T_3(n)=n^3+n^{2}lo{g}_{2}n$
$=O(n^3)+O(n^{2}lo{g}_{2}n)$
$=O(n^3)$

案例

1）算法一：

void loveYou(){
    
    //n为问题规模
①    int i=1;
②    while(i<=n){
    
    
③        i++;
④        printf("I Love You %d\n",i);
    }
⑤    pritnf("I Love You Than %d\n",n);
}

语句频度：
① ——1次
② ——3001次
③④——3000次
⑤ ——1次
T(3000)=1+3001+2*300+1
时间开销与问题规模n的关系：T(n)=3n+3=O(n)


2）算法二：

void loveYou(){
    
    //n为问题规模
    int i=1;
    while(i<=n){
    
    
        i++;
        printf("I Love You %d\n",i);
    	for(int j=1;j<n;j++){
    
    
            printf("I am Iron Man\n");
        }
    }
    pritnf("I Love You Than %d\n",n);
}

外层循环执行n次，内层循环共执行$n^2$次。
时间开销与问题规模n的关系：T(n)=O(n)+O($n^2$)=O($n^2$)
结论：如果有多层嵌套循环，只需关注最深层循环循环了几次


3）算法三：

void loveYou(){
    
    //n为问题规模
    int i=1;
    while(i<=n){
    
    
        i=i*2;//每次翻倍
        printf("I Love You %d\n",i);
    	for(int j=1;j<n;j++){
    
    
            printf("I am Iron Man\n");
        }
    }
    pritnf("I Love You Than %d\n",n);
}

计算上述算法的时间复杂度T(n):
设最深层循环的语句频度(总共循环的次数)为x,则由循环条件可知，循环结束时刚好满足$2^x>n$即$x=lo{g}_{2}n+1$跳出循环
T(n)=O(x)=O($log_2n$)

3.2、空间复杂度

算法的空间复杂度$S(n)$定义为该算法所消耗的存储空间，它是问题规模n的函数。记为$S(n)=O(g(n))$

一个程序在执行时除需要存储空间来存放本身所用的指令、常数、变量和输入数据外，还需要一些对数据进行操作的工作单元和存储一些为实现计算所需信息的辅助空间。若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关，则只需分析除输入和程序之外的额外空间。