数据结构--树与二叉树练习题

练习1

1 . 设一棵二叉树的先序序列：ABDFCEGH,中序序列：BFDAGEHC.
（1）画出这棵二叉树。
（2）画出这棵二叉树的后序线索树。
（3）将这棵二叉树转换成对应的树（或森林）

2 . 假设用于通信的电文仅由8个字母组成，字母在电文中出现的频率分别为0.07、0.19、0.02、0.06、0.32、0.03、0.21和0.10。
（1）试为这8个字母设计哈夫曼编码。
（2）试设计另一种由二进制表示的等长编码方案。
（3）对于上述实例，比较两种方案的优缺点。

3 . 【408真题】如果一棵非空k(k≥2)叉树T中每个非叶子结点都有k个孩子，则称T为正则后k树。请回答下列问题并给出推导过程。
（1）若T有m个非叶子结点，则T中的叶子结点有多少个？
（2）若T的高度为h(根的高度为1)，则T的结点个数最多为多少个？最少为多少个？（提示，答案皆与K有关）

4 . 【算法题】以二叉链表为存储结构，交换二叉树每个结点的左孩子和有孩子。(编程实现后，只需将swapLR函数写在本子上）

//二叉树编程练习
typedef char ElemType;

typedef struct BiTNode{
    
    
    //数据域
    ElemType data;
    //指向左孩子结点的指针
    struct BiTNode *lchild;
    //指向左孩子结点的指针
    struct BiTNode *rchild;
}BiTNode, *BiTree;

//创建一个二叉树
//按照先序遍历创建二叉树，空节点使用#表示，每个字符以空格隔开
//ABD##E##CF##G##    是一个层次遍历序列为ABCDEFE的满二叉树
int CreateBiTree(BiTree *T){
    
    
    char ch;
    scanf("%c", &ch);
    //如果输入为空，则返回一颗空树
    if(ch == '#'){
    
    
        *T = NULL;
    } else {
    
    
        *T = (BiTNode *) malloc(sizeof(BiTNode));
        if(!(*T)){
    
    
            exit(OVERFLOW);
        }
        (*T)->data = ch;
        CreateBiTree(&((*T)->lchild));
        CreateBiTree(&((*T)->rchild));
    }
    return OK;
}

//交换二叉树每个结点的左右子树
void swapLR(BiTree *T){
    
    
  	//...
}

//打印二叉树
void printTree(BiTNode *root, int spaces) {
    
    
    int loop;
    while (root != NULL) {
    
    
        printTree(root->rchild, spaces + 4);

        for (loop = 1; loop <= spaces; loop++) {
    
    
            printf(" ");
        }
        printf("%c\n", root->data);
        printTree(root->lchild, spaces + 4);
        root = NULL;
    }
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    
    
    BiTree root;
    CreateBiTree(&root);
    printf("root 结点的值为：%c\n", root->data);
    printf("root 结点左子树的值为：%c\n", root->lchild->data);
    printf("root 结点右子树的值为：%c\n", root->rchild->data);
    
    printTree(root, 0);
  	//调用交换二叉树
  	swapLR(&root);
  	printTree(root, 0);
    return 0;
}

练习2

​ 在练习1，第四题给出的存储结构下，进行编程练习。

1. 二叉树先序遍历的非递归算法。

提示：要写出二叉树的非递归算法，主要任务就是用自己定义的栈来代替系统栈的功能。以下图二叉树为例，各节点进栈、出栈过程如下图所示。

​ 初态：栈为空

​ ①结点1入栈。

​ ②出栈、输出结点1，并将结点1的左右孩子结点（2、4）入栈；右孩子先入栈，左孩子后入栈（栈的先进后出特性）。

​ ③出栈，输出栈顶结点2，将结点2的左右孩子结点入栈。

​ ④出栈，输出结点3，结点3为叶子结点，无结点入栈。

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​ ⑤出栈，输出结点5，结点5为叶子结点，无结点入栈。

​ 出栈，出处栈顶结点4，此时栈空，进入终态。

​ 遍历序列为：1，2，3，5，4

​ 结合上面的提示，编写出先序遍历的非递归代码。

2. 二叉树中序遍历的非递归算法。

​ 提示：参考上一题，各节点的进栈、出栈过程如下图所示，结合上一题，写出代码。

3. 试设计出一个算法，求二叉树中值为x的结点的层次。（根节点的层次为1）

​ 提示：遍历的过程中，保存当前访问结点的层号，向下递归是层号++；访问解释左右子孩子时，回退到上一层时，层号–。

---

练习1参考答案：
1.答案：1、2、3的答案分别是下图中(a)、(b)、©所示。

2.答案：
（1）可以将频率放大100倍（可选、可不选），不影响哈夫曼树的构造。
​ w={7, 19, 2, 6, 32, 3, 21, 10}，根据哈夫曼树的构造规则，构造的哈夫曼树如下所示（不一定唯一，做左右子树可以交换）：

（2）哈夫曼编码和等长编码如下如所示(答案不唯一)：

（3）对于上述两种方案，等长编码的构造显然比哈夫曼编码的构造简单。但是，哈夫曼编码是最优前缀编码。对于包括n个字符的数据文件，分别以它们的出现次数为权值构造哈夫曼树，则利用该树对应的哈夫曼编码对文件进行编码，能使该文件压缩后对应的二进制文件的长度最短。
哈夫曼编码对应二叉树的WPL为：
WPL1=2x(0.19+0.32+0.21)+4x(0.07+0.06+0.10)+5x(0.02+0.03)=1.44+0.92+0.25=2.61
等长编码对应二叉树的WPL为：
WPL2=3x(0.19+0.32+0.21+0.07+0.06+0.10+0.02+0.03)=3

3.答案：
（1）根据定义，正则k叉树中仅含有两类结点：叶子结点（个数记为n₀)和度为k的分支结点（个数记为n).树T中的结点总数n=n₀+n=n₀+m.树中所含的边数e=n-1,这些边均为m个度为k的结点发出的，即e=m * k.整理得：n₀+m=m * k+1,故n₀=(k-1)xm+1.
（2）高度为h的正则k叉树T中，含最多结点的树形为：除第h层外，第1到第h-1层的结点都是度为k的分支结点，而第h层均为叶子结点，即树是“满”树。此时第j(1≤j≤h)层结点数为k-1,结点总数M1为：
$$M_1=\sum _{j-1}^h{k}^{j-1}=\frac{k^h-1}{k-1}$$
​ 含最少结点的正则k叉树的树形为：第1层只有根结点，第2到第h-1层仅含1个分支结点和k-1个叶子结点，第h层有k个结点。即除根外第2到第h层中每层的节点数均为k，故T中所含结点总数M2为：
$$M_2=1+(h-1)\ast k$$
4.答案：

void swapLR(BiTree *T){
    
    
  	if(T == NULL){
    
    
        return;
    }
    //如果左右子树均为空，无须交换
    if((*T)->lchild == NULL && (*T)->rchild == NULL){
    
    
        return;
    } else {
    
    
        //交换左右子树
        BiTNode *tmp = (*T)->lchild;
        (*T)->lchild = (*T)->rchild;
        (*T)->rchild = tmp;
    }
    swapLR(&(*T)->lchild);
    swapLR(&(*T)->rchild);
}