基于最小二乘法的直线拟合原理及C++实现

“ 在数据分析的时候，需要尽可能地排除噪声干扰，以便分析出数据的本质规律。排除噪声干扰的常用手段之一是数据拟合，以直线、抛物线、多次曲线等为数据模型，对数据进行拟合。”

本文我们主要讲基于最小二乘法的直线拟合原理，并在此基础上，介绍结合最小二乘法和RANSAC算法的直线拟合算法。

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基于最小二乘法的直线拟合原理

最小二乘法直线拟合的核心思想是：以所有样本值与其对应模型值的平方差和作为目标函数，当目标函数值取得最小值时，认为模型就是所有样本的拟合。

我们知道，当导数为0的时候函数取得极值，所以可通过求目标函数对各参数的偏导数并令偏导数为0来求解各参数。在偏导数为0的情况下求得的各参数则构成了最小二乘法的解。

下面我们来推导一下最小二乘法直线拟合的计算公式。

假设有n个点(x_i, y_i)（0≤i<n），并假设它们的拟合直线为Y=ax+b，那么对于每个x_i，它的拟合值为Y_i=ax_i+b。于是目标函数为：

我们的目标是：求当f(x)取得最小值时的a、b参数。于是分别求f(x)对于a、b的偏导数：

令以上偏导数为0，得到一个二元一次方程组：

记：

于是有：

解以上方程组得到a、b，就是我们要求的直线拟合参数：

代码实现：

//y=ax+b
void lineplofit(vector<Point2f>& points_list, int points_num, float* a, float* b)
{
    float sum_x2 = 0.0;
    float sum_y = 0.0;
    float sum_x = 0.0;
    float sum_xy = 0.0;


    int num = points_num;


    int i;
    for (i = 0; i < num; ++i)
    {
        sum_x2 += points_list[i].x * points_list[i].x;
        sum_y += points_list[i].y;
        sum_x += points_list[i].x;
        sum_xy += points_list[i].x * points_list[i].y;
    }


    float tmp = num * sum_x2 - sum_x * sum_x;
    if (abs(tmp) > 0.000001f)
    {
        *a = (num * sum_xy - sum_x * sum_y) / tmp;
        *b = (sum_x2 * sum_y - sum_x * sum_xy) / tmp;
    }
    else
    {
        *a = 0;
        *b = 0;
    }
}

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基于最小二乘法与RANSAC算法的直线拟合原理

上一章节介绍的最小二乘直线拟合算法中，所有样本点都参与计算。但在实际应用过程中因为噪声的存在，往往有个别样本点距离其它大部分点比较远，通常称这些点为离群点，如果离群点也参与直线拟合运算会导致拟合结果出现较大误差。如下图所示：

像以上情况，需要把离群点剔除之后再进行直线拟合，否则会出现较大误差，而RANSAC算法就是这样一种用于剔除离群样本点的经典算法。

介绍RANSAC算法之前，首先讲下内点和外点的含义：与模型距离小于设定阈值的样本点称为内点，反之与模型距离大于等于设定阈值的样本点称为外点（外点也即上文所说的离群点）。举个例子说：假如设定阈值为5，那么若一点到直线的距离为2，因为2小于5所以该点为内点，但若一点到直线的距离为8，因为8大于5所以该点为外点。

下面介绍RANSAC的流程和原理，该算法是一个重复多次循环的过程，在多次循环过程中记录内点数最多的内点集合，最后使用该内点数最多的内点集合来估算拟合模型。

假设历史记录的最多内点集合为MaxInline，且其内点数为MaxM。

1. 首先根据需要设定一个目标模型，如果是直线拟合则模型为y=ax+b，如果是二次曲线拟合则模型为y=ax²+bx+c，如果是仿射变换拟合则模型为2*3的仿射变换矩阵......

2. 从所有样本点中随机选择计算模型参数需要的“最少个数”样本点，假设这个“最少个数”为n，不同的模型对应的n值不一样，如果是直线拟合则n=2，如果是二次曲线拟合则n=3，如果是仿射变换拟合则n=3......

3. 使用上一步随机选取的n个样本点计算模型参数，如果是直线拟合则求a、b，如果是二次曲线拟合则求a、b、c，如果是仿射变换拟合则求2*3矩阵的6个参数......

4. 对每个点，计算其到模型的距离，并判断距离如果小于阈值则该点为内点并将其加入内点集合Inline，否则加入外点集合。同时将Inline的点数m与历史记录的最多内点数MaxM进行比较，如果m>MaxM，则执行MaxM=m且MaxInline=Inline。

5. 判断MaxM是否超过总样本数的一定比例（比如80%），或循环次数是否达到设定的最大循环数。如果MaxM未超过总样本数一定比例且循环次数未达到最大循环数，则跳回以上第2步重新开始往下执行，否则停止循环。

6. 判断是否满足MaxM≥n，如果满足则使用MaxInline集合内的点来估算拟合模型，否则认为RANSAC算法失败。

以上步骤中，需要计算样本点到模型的距离，对于不同的模型其距离计算方法是不一样的。如果是直线模型，则直接计算点(x₀,y₀)到直线y=ax+b的垂直距离即可：

判断内点的距离阈值需要设定一个合适的值，才能有较好的剔除离群点效果，因此可以多次尝试不同的阈值，本文根据最小距离MinD到最大距离MaxD的比例差距，把距离阈值的设定转换为0~1的比例值α设定，减小了设定范围，因此可以更容易找到合适的阈值：

代码实现：

#define RANSAC_K 2


//获取0~n-1范围内的num个随机数
static void GetRansacRandomNum(int n, int num, int p[])
{
    int i = 0, j;


    int r = rand() % n;
    p[0] = r;
    i++;


    while (1)
    {
        int status = 1;
        r = rand() % n;


        for (j = 0; j < i; j++)
        {
            if (p[j] == r)
            {
                status = 0;
                break;
            }
        }


        if (status == 1)
        {
            p[i] = r;
            i++;
        }


        if (i == num)
            break;
    }
}


void RansacPolyfitLine(vector<Point2f> p, int iter_num, float alpha, float* a, float* b)
{
    int r_idx[RANSAC_K];


    vector<Point2f> pick_p;


    srand((unsigned)time(NULL));


    int max_inline_num = 0;


    vector<Point2f> inline_p;
    vector<Point2f> max_inline_p;
    vector<float> d_list;


    int n = p.size();


    for (int i = 0; i < iter_num; i++)   //总共迭代iter_num次
    {
        GetRansacRandomNum(n, RANSAC_K, r_idx);  //生成RANSAC_K个不重复的0~n-1的随机数


        pick_p.clear();
        //随机选择2个点
        for (int j = 0; j < RANSAC_K; j++)
        {       
            pick_p.push_back(p[r_idx[j]]);
        }


        float aa = 0, bb = 0;
        //使用以上随机选择的两个点来计算一条直线
        lineplofit(pick_p, RANSAC_K, &aa, &bb);


        float mind = 99999999.9f;
        float maxd = -99999999.9f;
        d_list.clear();
        //计算所有点到以上计算直线的距离，并记录最大最小距离
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            float d = abs(aa * p[j].x - p[j].y + bb) / sqrtf(aa * aa + 1.0f);
            d_list.push_back(d);
            mind = MIN(mind, d);
            maxd = MAX(maxd, d);
        }
        //根据0~1的α值和最大最小距离计算阈值
        float threld = mind + (maxd - mind) * alpha;


        inline_p.clear();
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            //判断如果点距离小于阈值则将该点加入内点集合
            if (d_list[j] < threld)
            {               
                inline_p.push_back(p[j]);                          
            }
        }
        //判断如果以上内点集合的点数大于历史最大内点数，则替换历史最大内点数集合
        if (max_inline_num < inline_p.size())
        {
            max_inline_num = inline_p.size();
            max_inline_p.swap(inline_p);
        }
    }
    //判断如果历史最大内点数大于等于2，则使用历史最大内点数集合来计算直线
    if (max_inline_num >= RANSAC_K)
    {
        lineplofit(max_inline_p, max_inline_p.size(), a, b);
    }
    else  //否则RANSAC算法失败
    {
        *a = 0;
        *b = 0;
    }


}

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直线拟合结果

当离群点比较少时，最小二乘直线拟合算法与结合最小二乘、RANSAC的直线拟合算法结果差不多，如下图，蓝线为最小二乘直线拟合算法的结果，绿线为结合最小二乘、RANSAC的直线拟合算法的结果，两线基本重合。

当离群点比较多时，最小二乘直线拟合算法的结果会出现较大偏差（蓝线），结合最小二乘、RANSAC的直线拟合算法则不会（绿线）：

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题外话

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基于最小二乘法的直线拟合原理及C++实现

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