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前言
模二运算
循环冗余检验
举例说明

前言

详解计算机网络基础中的循环冗余检验（CRC），从模二运算入手，举例说明，层层深入，一举拿下循环冗余算法。

模二运算

简单来说就是：异或运算 （相同为0，相异为1）

模二加减运算

$0 \pm 0 = 0$
$0 \pm 1 = 1$
$1 \pm 0 = 1$
$1 \pm 1 = 0$

模二乘法运算

    1101
×    101
——————————
    1101
   0000
  1101
——————————
  111001

模二除法运算

		        110101（商）
		     _____________
（除数）1101 |  101001000（被除数）
		        1101
		        ————
		        01110
		         1101
		         ————
		         001110
		           1101
		           ————
		           001100
		             1101
		             ————
		              001 （余数，位数为除数位数-1）

循环冗余检验

帧检验序列（FCS）：模二除法运算所得的余数，例如上面模二除法运算所得的余数是 001 在循环冗余校验中就叫做帧检验序列。

生成多项式：用多项式表示循环冗余检验中的被除数与除数，例如上面模二除法运算的除数 1101 就可以表示成 $P(X)=X^3+X^2+1$ 。

样例

发送的数据（被除数）：M = 101001（k = 6）
除数：P = 1101（n = 3）

① 补零：在数据（被除数）后面补 n 个零，n 是除数的位数 -1，在这里补 3 个零（补零这个步骤是为了求 FCS，进而得到接收方接收到的序列）

② 运用模二除法运算得：

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		        110101（商）
		     _____________
        1101 |  101001000（被除数，后面三个0是补的）
		        1101
		        ————
		        01110
		         1101
		         ————
		         001110
		           1101
		           ————
		           001100
		             1101
		             ————
		              001 （余数，位数 n 为除数位数-1）

即商 Q = 110101（没用），余数 R1 = 001（帧检验序列FCS）

③ 所以发送的帧为 101001 001，即接收方接收到的帧为 101001 001。

④ 用接收方接收到的帧作为被除数，再与除数进行模二运算，得到新的余数R2。

⑤ 判断，若R2 = 0，则这个帧没有差错，否则有错（但是无法判断哪里错了）。

举例说明

在数据传输过程中，若接收方收到的信息为 10110011010，生成多项式为 $G(X)=x^4+x^3+1$ ，请验证传输过程是否出错。

① 分析：“接收方接收到的信息” 说明发送方发送的信息已经加上了FCS → 直接进行模二运算求余数

② 除数： $G(x)=x^4+x^3+1$ → 11001

③ 模二除法运算：

		        1101010（商）
		     _____________
       11001 |  10110011010
		        11001
		        —————
		        011110
		         11001
		         —————
		         001111
		          00000
		          —————
		           11111
		           11001
		           —————
		           001100
		            00000     
		            —————
		             11001
		             11001
		             —————
		             000000
		             000000
		              —————
		                  0

④ 判断：结果为 0，没有出错

在数据传输过程中，若发送方发送的信息为 110011，生成多项式为 $G(x)=x^4+x^3+1$ ，接收方能正确接收的信息为多少？

① 分析：已知发送方发送的信息，求接收方接收的信息，即求FCS，再将发送方发送的信息加上FCS即可

② 除数： $G(x)=x^4+x^3+1$ → 11001

③ 补零：除数有 5 个零，被除数补 4 个零 → 110011 0000

④ 模二运算：

		        100001（商）
		     _____________
       11001 |  1100110000
		        11001
		        —————
		        0000010000（简便运算：该步骤后面从被除数中拉下来4位，则直接在商里补4个零即可）
		             11001
		             —————
		              1001

⑤ FCS 为 1001，接收方接收的信息为：110011 1001。

要发送的数据为 1101011011，采用 CRC 的生成多项式是 $P(x)=x^4+x+1$ 。
试求应添加在数据后面的余数。数据在传输过程中最后一个 1 变成了 0，问接收端能否发现？若数据在传输过程中最后两个 1 都变成了 0，问接收端能否发现？

1.先求 FCS

① 除数： $P(x)=x^4+x+1$ → 10011

② 补零：除数有 5 位，被除数补 4 个零 → 1101011011 0000

③ 模二除法：

		        1100001010（商）
		     __________________
       10011 |  11010110110000
		        10011
		        —————
		        010011
		         10011
		         —————
		         0000010110
		              10011
		              —————
		              0010100
		                10011
		                —————
		                 01110（超出4位，从后往前取4位，得到R=1110）

④ 传输的数据为： 1101 0110 11 1110

2.最后一个1变成了0 → 1101 0110 11 1100

① 直接进行模二除法运算：

		        1100001010（商）
		     __________________
       10011 |  11010110111100
		        10011
		        —————
		        010011
		         10011
		         —————
		         0000010111
		              10011
		              —————
		              0010010
		                10011
		                —————
		                  0010 （从后往前保留4位）

② 判断：R不为0，出现差错

3.最后两个1变成了0 → 1101 0110 11 1000