CRC的简介
循环冗余校验(cyclic redundancy check, CRC)：CRC是数据通信领域最常用的一种差错检验码。它只能检错，不能纠错。要纠错就需要更多的冗余位得到对应的纠错码。
在发送端会对数据字段(实际是在数据字段末尾加足够的0)进行模2除法运算，用生成多项式(一种用来生成差错检测码的工具)作为除数，将得到的余数作为冗余码加到数据字段尾部，数据字段+冗余码合起来称为码字。码字会被发送端传送到接收端，接收端会对码字做同样的模2除法运算，得到的结果称为校正子，如果校正子全为0，则认为数据没有出错。否则认为数据出错。
具体逻辑如下图所示：
CRC在数据链路层的应用
比如PPP协议和以太网协议都使用CRC。
CRC的计算
和所有差错检测一样，CRC检错也是靠冗余位实现的。CRC的冗余位叫做帧检验序列FCS(Frame Check Sequence)。计算出的FCS会作为冗余位加到数据字段的尾部。
计算CRC的方法是利用模2除法运算，除数是通过已知的生成多项式求得。
常见生成多项式
生成多项式的获取需要抽象代数的专业知识，不过常用的生成多项式已经被专家研究出了，如下表所示：
| 名称 | 多项式 | 应用 |
|---|---|---|
| CRC-8 | x 8 x^{8} x8+ x 2 x^{2} x2+ x 1 x^{1} x1+1 | ATM头部 |
| CRC-10 | x 10 x^{10} x10+ x 9 x^{9} x9+ x 5 x^{5} x5+ x 4 x^{4} x4+ x 2 x^{2} x2+1 | ATM AAL |
| CRC-16 | x 16 x^{16} x16+ x 12 x^{12} x12+ x 5 x^{5} x5+1 | HDLC |
| CRC-32 | x 32 x^{32} x32+ x 26 x^{26} x26+ x 23 x^{23} x23+ x 22 x^{22} x22+ x 16 x^{16} x16+ x 12 x^{12} x12+ x 11 x^{11} x11+ x 10 x^{10} x10+ x 8 x^{8} x8+ x 7 x^{7} x7+ x 5 x^{5} x5+ x 4 x^{4} x4+ x 2 x^{2} x2+1 | LANs |
每个包含差错控制的协议的生成多项式都是已知的，这些生成多项式成功检测出差错的概率非常高。
发送方和接收方一开始都有统一的生成多项式。
CRC计算的步骤
下面是CRC计算的完整步骤：
发送端：
1.构造除数
发送方首先要将已知的生成多项式转换为除数**。
方法很简单，将多项式进行完整的展开，多项式的系数组合就是除数的值。
举例：
x 3 x^{3} x3 + x + 1 = 1✖ x 3 x^{3} x3 + 0✖ x 2 x^{2} x2 + 1✖x + 1✖ x 0 x^{0} x0
除数为对应系数组合：1011
2.构造被除数
被除数是将数据字段的末尾填充足够位数的0得到的，0的个数为生成多项式的最高项次数。
比如生成多项式为： x 3 x^{3} x3+x+1，最高项次数为3，所以添加3个0。
3.求得模2除法的余数
用被除数和除数进行模2除法，将得到的商省略，得到的余数留下来。余数的值就是CRC冗余码的值，也就是帧检验序列FCS的值。
4.传输码字
在数据字段末尾加上帧检测序列FCS，组合成最终的码字。将整个码字传输到不可靠的链路中，接收端最终会收到可能改变(大几率不会出错)的码字。
接收端：
1.计算校正子
接收端会和发送端做类似的处理，和发送端的唯一区别是：它是直接用接收到的码字做被除数。
还是用生成多项式得到的值做除数，用模2除法计算余数。余数就是最终的校正子。
2.逻辑决策
如果校正子为全0，则认为收到的数据没有差错。
反之，如果校正子不是全0，则认为数据出错。接收端有可能丢弃数据，或者要求发送端做数据的重传。是直接丢弃还是要求重传由具体的协议决定。
CRC计算举例
如何根据生成多项式生成除数，如何填充数据字段得到被除数，以及如何通过模2运算得到余数作为冗余位。
只需要跟着计算一个例子即可完全掌握。
下面的例子的数据字段为：101101001，生成多项式为： x 3 x^{3} x3+ x 2 x^{2} x2+1
展开多项式得到除数为：1101
多项式最高项次数为3，所以数据字段末尾需要加3个0。
所以被除数为：101101001000
模2除法的规则很简单，如下图所示：
其实和一般的除法差不多，不过每次做的是异或运算。
规则1：每次异或的最左边第一位一定为0。
第一次异或：1011 ⊕ 1101 = 0111 省略最左边的0为111，被除数再落下一位，为1110
规则2：异或的结果最左边有几个零，就省略几个0，同时被除数需要落下对应的数字补齐。
第二次异或：1110 ⊕ 1101 = 0011 省略最左边的2个0为11，被除数再落下两位，为1110
第三次异或：1110 ⊕ 1101 = 0011，省略最左边的2个0为11，被除数再落下两位，为1100
规则3：余数的位数比除数少1位，如果余数位数不够就在前面补0。
第四次异或：1100 ⊕ 1101 = 0001，得到最终的余数位1。由于除数为4位，所以余数少1位应为3位，所以补齐2个0，余数最终为001。
所以，余数001就是CRC的冗余码，也就是帧检验序列FCS。
商的规则其实很简单，如果得到的结果最左边只有第一位为0，商的对应那位就是1，如果得到的结果最左边有n个0(n大于1)，则商对应需要加上n-1个0。比如得到的结果是0011，有2个0，则商应该加1个0上去(不过商的值没用，所以也不用在乎它的计算）。
接受端和发送端都做同样的模2除法，只不过接收端的被除数是接受到的码字。
比如发送端的被除数是101101001000(101101001补足3个0)，FCS的值为001，那么如果传输没出错，接收端的码字应该为101101001001，这个码字会被接收端用来当作被除数。
具体的计算方法都是模2除法，由于码字没错，所以得到的余数应该为000。具体计算读者可以自行尝试。
CRC未检测到错误的概率
CRC并不是百分百检错成功。当码字出错，但接收端计算得到的校正子还为全0时，CRC就出错了。错误的数据字段也会被接收端上层协议接收。但是只要选择合适的生成多项式，CRC未检测到错误的概率是非常低的。
CRC在检测单个差错，双差错，奇数个差错和突发性差错的性能都是非常令人满意的，而且它的硬件实现也很简单。所以，很多网络协议都会选择CRC进行差错检测。