CKKS介绍
CKKS是一个可以实现有限次同态运算的加密方案，支持同态加法和同态乘。CKKS和其他同态加密方案的最大的区别就是，CKKS是直接支持复数的，当然也包括实数。但是，CKKS是一种近似同态计算，得到的结果是一个近似值，并不是准确值。
CKKS将复数向量首先编码成明文多项式，然后对明文多项式加密。解密的结果再解码成复数向量。CKKS具体的编码过程使用的是多项式的正规嵌入，也就是，明文多项式在单位根上的值就是实际的明文。
CKKS可以进行对称加密，也可以进行非对称加密（公钥加密），一般默认使用的是公钥加密。
CKKS的参数
由于CKKS是一个近似的同态，所以需要在开始的时候指定精度，或者说叫做缩放因子。在进行明文的编码的时候，由于是浮点数（有小数部分），所以乘上缩放因子，再配合射入操作，得到一个整数系数的明文多项式。CKKS实际的密文域是整系数多项式环。然后在解码的时候除以缩放因子得到原来的明文。
所以缩放因子的大小，决定了计算的精度。
CKKS还需要指定多项式的度数，也就是多项式的最高次数是多少。在TenSEAL的实现中，多项式的度数只能是2的整数次幂，比如1024，2048，4096，……
多项式的度数决定了明文多项式的系数的个数，同时也决定了一个密文可以打包多少个明文。也就是一个密文的明文向量是多长。度数越大，那么一个密文可以打包的明文就越多，通常是多项式度数的一半。
显然，多项式的度数也决定了密文的大小。多项式的度数越大，就需要更多的数来表示这个多项式，也就意味着密文会更大。
同时，多项式的度数越大，那么每一次运算需要的时间就越长，计算的效率就越低。
不过，正因为如此，多项式的度数越大，那么加密的安全性就越高。
CKKS的另一个参数是系数模的大小，这是一个向量。由于CKKS支持的是层级的同态加密，也就是可以执行的同态运算的次数是有限的（没有自举的时候）。由于噪声会随着运算的进行不断增加，所以CKKS在每次进行乘法运算都会进行一次模交换操作，密文多项式的系数模从一个较大的素数p变到q。所以每一次乘法会消耗一个素数。所以CKKS需要传入一个指定素数大小的向量，向量的长度指定了最多可以进行同态乘法的次数。
系数模的大小直接影响了密文元素的大小，同时，系数模越大，那么安全性就越低。
在TenSEAL中，每个系数模必须是最多60比特的素数，并且模2倍的多项式度数后等于1.
CKKS的密钥key
CKKS中一共有四个密钥。
私钥，用来解密密文的小多项式。这个密钥是私有的，一般不会公开。
公钥，用于加密明文，通常是公开的，同时公钥也会包含一些需要的公共参数，比如多项式的度数等信息。
重线性化密钥，用于将密文变成一个只有两个元素的多项式向量。由于一个密文是两个多项式，所以，在进行密文和密文相乘的时候，就会变成三个多项式。随着乘法的进行，多项式越来越多，这就是所说的密文维度灾难。所以，在每次乘法后，会默认调用一个重线性化函数，使得密文始终保持在两个多项式。这个密钥默认是自动生成的，并且默认在每次乘法后会调用重线性化。当然，如果你有特殊需求（比如特定的效率优化策略），那么可以手动关闭。
伽罗瓦密钥，用来在同一个密文中移动明文。比如一个明文向量是（1，2，3），对应的密文是c，那么在密文域计算的时候，我们希望2对应的是第一个位置，就可以使用伽罗瓦密钥来移动明文的位置。注意的是，每一个位置的明文是进行相同的操作的。比如c+2，那么得到的明文就是（3，4，5）.如果是c+（1，2，3），那么就是（2，4，6）.所以有时候会需要移动明文的位置，来对齐。这个密钥是可选的，没有移动明文的需求的时候，不需要生成。TenSEAL中是手动生成的。
代码示例
生成加密的上下文：
import tenseal as ts
ctx=ts.context(ts.SCHEME_TYPE.CKKS, poly_modulus_degree=8192, coeff_mod_bit_sizes=[60, 40, 40, 60])
ctx.global_scale=2**40多项式的度数维8192，这个参数同时也指定了一个密文中最多可以加密4096个明文。
系数模有4个，除去第一个和最后一个，指定了最多可以进行的乘法次数为2.
global_scale指定了缩放因子。
下面这段代码将私钥从加密上下文中分离出来：
sk=ctx.secret_key()
ctx.make_context_public()下面是加密和解密，以及加法和乘法的演示：
m1=[1.1,2.2,3.3]
m2=[-1,-2.01,3.5]
print("m1 is ",m1)
print("m2 is ",m2)
c1=ts.ckks_vector(ctx,m1)
c2=ts.ckks_vector(ctx,m2)
c3=c1+c2
sum=c3.decrypt(sk)
print("The sum of m1 and m2 is ",sum)
c4=c1*c2
prod=c4.decrypt(sk)
print("The product of m1 and m2 is ",prod)