20230219 质心和重心的区别和性质

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前言

本文讲解质心和重心的区别以及数学表达。

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一、质心和重心是什么？

质心：（无需重力场的前提）所有质点的位置关于它们的质量的加权平均数。
重心：（需要重力场的前提）重力对系统中每个质点关于重心的力矩之和为零。

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二、数学表达

质心：
$$\bar{x}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{m}_i{x}_i}{{\sum }_{i=1}^n{m}_i},\bar{y}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{m}_i{y}_i}{{\sum }_{i=1}^n{m}_i},\bar{z}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{m}_i{z}_i}{{\sum }_{i=1}^n{m}_i}$$可得$$\sum _{i=1}^n{m}_i(x_i-\bar{x})=\sum _{i=1}^n{m}_i(y_i-\bar{y})=\sum _{i=1}^n{m}_i(z_i-\bar{z})=0$$可得$${\int }_{\forall A}{\mathbf{v}}_{{}_{OA}}\text{d}{m}_{{}_A}=0$$其中，$v_{{}_{OA}}$是指质心 $O$ 指向某一点 $A$。

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重心：
$${\int }_{\forall A}{\mathbf{v}}_{{}_{OA}}^{\times }{\mathbf{g}}_A\text{d}{m}_{{}_A}=0$$其中，$v_{{}_{OA}}$是指质心 $O$ 指向某一点 $A$。

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总结

结论：如果 ${\mathbf{g}}_A\ne 0$ 处处相等，那么重心与质心重合，否则不重合。