bundle adjustment 详解

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bundle adjustment 的历史发展

bundle adjustment,中文名称是光束法平差,经典的BA目的是优化相机的pose和landmark,其在SfM和SLAM 领域中扮演者重要角色.目前大多数书籍或者参老文献将其翻译成"捆绑调整"是不太严谨的做法.bundle adjustment 最早是19世纪由搞大地测量学(测绘学科)的人提出来的,19世纪中期的时候，geodetics的学者就开始研究large scale triangulations（大型三角剖分）。20世纪中期，随着camera和computer的出现，photogrammetry(摄影测量学)也开始研究adjustment computation，所以他们给起了个名字叫bundle adjustment(隶属摄影测量学科前辈的功劳)。21世纪前后，robotics领域开始兴起SLAM，最早用的recursive bayesian filter（递归贝叶斯滤波），后来把问题搞成个graph然后用least squares方法求解,bundle adjusment历史发展图如下:
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bundle adjustment 其本质还是离不开最小二乘原理(Gauss功劳)(几乎所有优化问题其本质都是最小二乘),目前bundle adjustment 优化框架最为代表的是ceres solver和g2o(这里主要介绍ceres solver).据说ceres的命名是天文学家Piazzi闲暇无事的时候观测一颗没有观测到的星星,最后用least squares算出了这个小行星的轨道,故将这个小行星命名为ceres.

Bundle adjustment 的算法理论

观测值:像点坐标
优化量(平差量):pose 和landmark
因为一旦涉及平差,就必定有如下公式:观测值+观测值改正数=近似值+近似值改正数,那么bundle adjustment 的公式还是从共线条件方程出发:

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$\begin{array}{l} x-x_{0}=-f \frac{a_{1}\left(X_{A}-X_{S}\right)+b_{1}\left(Y_{A}-Y_{S}\right)+c_{1}\left(Z_{A}-L_{S}\right)}{a_{3}\left(X_{A}-X_{S}\right)+b_{3}\left(Y_{A}-Y_{S}\right)+c_{3}\left(Z_{A}-Z_{S}\right)} \\ y-y_{0}=-f \frac{a_{2}\left(X_{A}-X_{S}\right)+b_{2}\left(Y_{A}-Y_{S}\right)+c_{2}\left(Z_{A}-Z_{S}\right)}{a_{3}\left(X_{A}-X_{S}\right)+b_{3}\left(Y_{A}-Y_{S}\right)+c_{3}\left(Z_{A}-Z_{S}\right)} \end{array}$

优化函数(误差方程)如下,其中uij是像点坐标,Cj是相机投影矩阵,Xi是三维点坐标:

$\min \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m}\left(u_{i j}-\pi\left(C_{j}, X_{i}\right)\right)^{2}$

四种Bundle adjustment 算法代码

这里代码主要从四个方面来介绍:

优化相机内参及畸变系数,相机的pose(6dof)和landmark
代价函数写法如下:

template <typename CameraModel>
class BundleAdjustmentCostFunction {
 public:
  explicit BundleAdjustmentCostFunction(const Eigen::Vector2d& point2D)
      : observed_x_(point2D(0)), observed_y_(point2D(1)) {}
//构造函数传入的是观测值
  static ceres::CostFunction* Create(const Eigen::Vector2d& point2D) {
    return (new ceres::AutoDiffCostFunction<
            BundleAdjustmentCostFunction<CameraModel>, 2, 4, 3, 3,
            CameraModel::kNumParams>(
        new BundleAdjustmentCostFunction(point2D)));
  }
//优化量:2代表误差方程个数;4代表pose中的姿态信息,用四元数表示;3代表pose中的位置信息;3代表landmark
自由度;CameraModel::kNumParams是相机内参和畸变系数,其取决于相机模型是what


// opertator 重载函数的参数即是待优化的量
  template <typename T>
  bool operator()(const T* const qvec, const T* const tvec,
                  const T* const point3D, const T* const camera_params,
                  T* residuals) const {
    // Rotate and translate.
    T projection[3];
    ceres::UnitQuaternionRotatePoint(qvec, point3D, projection);
    projection[0] += tvec[0];
    projection[1] += tvec[1];
    projection[2] += tvec[2];

    // Project to image plane.
    projection[0] /= projection[2];
    projection[1] /= projection[2];

    // Distort and transform to pixel space.
    CameraModel::WorldToImage(camera_params, projection[0], projection[1],
                              &residuals[0], &residuals[1]);

    // Re-projection error.
    residuals[0] -= T(observed_x_);
    residuals[1] -= T(observed_y_);

    return true;
  }

 private:
  const double observed_x_;
  const double observed_y_;
};

写好了代价函数,下面就是需要把参数都加入残差块,让ceres自动求导,代码如下:

ceres::Problem problem;
ceres::CostFunction* cost_function = nullptr; 
ceres::LossFunction * p_LossFunction =
    ceres_options_.bUse_loss_function_ ?
      new ceres::HuberLoss(Square(4.0))
      : nullptr; // 关于为何使用损失函数,因为现实中并不是所有观测过程中的噪声都服从 
      //gaussian noise的（或者可以说几乎没有），
      //遇到有outlier的情况，这些方法非常容易挂掉，
      //这时候就得用到robust statistics里面的
      //robust cost(*cost也可以叫做loss, 统计学那边喜欢叫risk) function了，
      //比较常用的有huber, cauchy等等。
cost_function = BundleAdjustmentCostFunction<CameraModel>::Create(point2D.XY()); 
//将优化量加入残差块
problem_->AddResidualBlock(cost_function, p_LossFunction, qvec_data,
                                 tvec_data, point3D.XYZ().data(),
                                 camera_params_data);

如上,case1 的bundle adjustment 就搭建完成!

优化相机内参及畸变系数,pose subset parameterization(pose 信息部分参数优化)和3D landmark,当
只优化姿态信息时候,problem需要添加的代码如下:

    //这里姿态又用欧拉角表示
    map_poses[indexPose] = {angleAxis[0], angleAxis[1], angleAxis[2], t(0), t(1), t(2)};

    double * parameter_block = &map_poses.at(indexPose)[0];
    problem.AddParameterBlock(parameter_block, 6);
    std::vector<int> vec_constant_extrinsic;
    vec_constant_extrinsic.insert(vec_constant_extrinsic.end(), {3,4,5});
    if (!vec_constant_extrinsic.empty())
     {
         // 主要用到ceres的SubsetParameterization函数
        ceres::SubsetParameterization *subset_parameterization =
          new ceres::SubsetParameterization(6, vec_constant_extrinsic);
        problem.SetParameterization(parameter_block, subset_parameterization);
     }

优化相机内参及畸变系数,pose subset parameterization(pose 信息部分参数优化)和3D landmark,当
只优化位置信息时候,problem需要添加的代码如下(同上面代码,只需修改一行):

    //这里姿态又用欧拉角表示
    map_poses[indexPose] = {angleAxis[0], angleAxis[1], angleAxis[2], t(0), t(1), t(2)};

    double * parameter_block = &map_poses.at(indexPose)[0];
    problem.AddParameterBlock(parameter_block, 6);
    std::vector<int> vec_constant_extrinsic;
    vec_constant_extrinsic.insert(vec_constant_extrinsic.end(), {1,2,3});
    if (!vec_constant_extrinsic.empty())
     {
        ceres::SubsetParameterization *subset_parameterization =
          new ceres::SubsetParameterization(6, vec_constant_extrinsic);
        problem.SetParameterization(parameter_block, subset_parameterization);
     }

优化相机内参及畸变系数,pose 是常量不优化和3D landmark.
代价函数写法如下:

//相机模型
template <typename CameraModel>  
class BundleAdjustmentConstantPoseCostFunction {
 public:
  BundleAdjustmentConstantPoseCostFunction(const Eigen::Vector4d& qvec,
                                           const Eigen::Vector3d& tvec,
                                           const Eigen::Vector2d& point2D)
      : qw_(qvec(0)),
        qx_(qvec(1)),
        qy_(qvec(2)),
        qz_(qvec(3)),
        tx_(tvec(0)),
        ty_(tvec(1)),
        tz_(tvec(2)),
        observed_x_(point2D(0)),
        observed_y_(point2D(1)) {}

  static ceres::CostFunction* Create(const Eigen::Vector4d& qvec,
                                     const Eigen::Vector3d& tvec,
                                     const Eigen::Vector2d& point2D) {
    return (new ceres::AutoDiffCostFunction<
            BundleAdjustmentConstantPoseCostFunction<CameraModel>, 2, 3,
            CameraModel::kNumParams>(
        new BundleAdjustmentConstantPoseCostFunction(qvec, tvec, point2D)));
  }

  template <typename T>
  bool operator()(const T* const point3D, const T* const camera_params,
                  T* residuals) const {
    const T qvec[4] = {T(qw_), T(qx_), T(qy_), T(qz_)};

    // Rotate and translate.
    T projection[3];
    ceres::UnitQuaternionRotatePoint(qvec, point3D, projection);
    projection[0] += T(tx_);
    projection[1] += T(ty_);
    projection[2] += T(tz_);

    // Project to image plane.
    projection[0] /= projection[2];
    projection[1] /= projection[2];

    // Distort and transform to pixel space.
    CameraModel::WorldToImage(camera_params, projection[0], projection[1],
                              &residuals[0], &residuals[1]);

    // Re-projection error.
    residuals[0] -= T(observed_x_);
    residuals[1] -= T(observed_y_);

    return true;
  }

 private:
  const double qw_;
  const double qx_;
  const double qy_;
  const double qz_;
  const double tx_;
  const double ty_;
  const double tz_;
  const double observed_x_;
  const double observed_y_;
};

接下来problem 加入残差块代码如下:

ceres::Problem problem;
ceres::CostFunction* cost_function = nullptr; 
ceres::LossFunction * p_LossFunction =
    ceres_options_.bUse_loss_function_ ?
      new ceres::HuberLoss(Square(4.0))
      : nullptr; // 关于为何使用损失函数,因为现实中并不是所有观测过程中的噪声都服从 
      //gaussian noise的（或者可以说几乎没有），
      //遇到有outlier的情况，这些方法非常容易挂掉，
      //这时候就得用到robust statistics里面的
      //robust cost(*cost也可以叫做loss, 统计学那边喜欢叫risk) function了，
      //比较常用的有huber, cauchy等等。
cost_function = BundleAdjustmentConstantPoseCostFunction<CameraModel>::Create( \
            image.Qvec(), image.Tvec(), point2D.XY());//观测值输入  
//将优化量加入残差块
 problem_->AddResidualBlock(cost_function, loss_function, \
              point3D.XYZ().data(), camera_params_data);//被优化量加入残差-3D点和相机内参

以上就是四种BA 的case 当然还可以有很多变种,比如gps约束的BA(即是附有限制条件的间接平差),比如
固定3D landmark,优化pose和相机参数和畸变系数

参考资料

colmap openmvg 源代码,github 地址:

https://github.com/openMVG/openMVG

https://github.com/colmap/colmap
单杰. 光束法平差简史与概要. 武汉大学学报·信息科学版, 2018, 43(12): 1797-1810.