1. 定理内容

信号在时域的总能量等于信号在频域的总能量，即信号经傅里叶变换后其总能量保持不变,符合时频能量守恒定律。

（1）x[n]是时域上的数字信号，是离散的采样点(frequency bin)，X[k]是对应的频域上的信号，由DFT变换(一般是使用快速算法FFT)得到。

（2）等式左边是取绝对值符号，而右边则是取信号的模的平方值。实信号FFT后，得到是复信号a+bi，模就是 $sqrt(a^2+b^2)$ ，平方值就可以去掉根号，所以对经过FFT后的每一个频点的实部和虚部做平方运算并求和即可。

测试程序：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <time.h>
#include "baselib.h"
#include "typedefs.h"

#define N 8
#define M ((int)log2(N))
int main(void)
{
	int i;
	float dat_r[N], dat_i[N];

	float tmp, energy=0.0;

	for (i=0; i<N; i++) {
		dat_r[i]=i+0.0;
		dat_i[i]=0.0;
		/* 时域上，直接取绝对值平方即可 */
		energy += fabs(dat_r[i]) * fabs(dat_r[i]);
	}
	printf("timedomain-en:%f\n", energy);

	FFT(dat_r, dat_i, NULL, N, M);
	energy=0.0;
	for (i=0; i<N; i++) {
		//energy += dat_r[i]*dat_r[i] + dat_i[i]*dat_i[i];
		/* 两种结果是一样的 */
		tmp = sqrt(dat_r[i]*dat_r[i] + dat_i[i]*dat_i[i]);
		energy += tmp * tmp;
	}
	energy = energy/N;
	printf("frequencydomain-en:%f\n", energy);

	return 0;
}

结果：N=8

timedomain-en:140.000000

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frequencydomain-en:140.000000

结果：N=16

timedomain-en:1240.000000

frequencydomain-en:1240.000122

在频域上的1/N可以平均分到每一个频点的能量上，最后直接求和，也是一样的结果。代码修改如下：

//频域信号能量的计算
	FFT(fram_data_r, fram_data_i, NULL, FFT_LEN, FFT_ORDER);
	energy=0.0;
	for (i=0; i<FFT_LEN; i++) {
		//energy += fram_data_r[i]*fram_data_r[i] + fram_data_i[i]*fram_data_i[i];
		/* 两种结果是一样的 */
		tmp = sqrt(fram_data_r[i]*fram_data_r[i] + fram_data_i[i]*fram_data_i[i]);
/* (tmp * tmp)/FFT_LEN; 是每一个频点的能量 */
energy += (tmp * tmp)/FFT_LEN;
	}

	printf("frequencydomain-en:%f\n", energy);

2. 读取音频文件数据进行计算对比

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <time.h>
#include "baselib.h"
#include "typedefs.h"

#define FFT_LEN 256 /* 帧长 */
#define FFT_ORDER ((int)log2(FFT_LEN))

int main(void)
{
	int count, i;
	float fram_data_r[FFT_LEN];
	float fram_data_i[FFT_LEN];
	float energy, tmp;

	FILE *fpin = NULL;
	fpin=fopen("input.wav", "rb");
	fseek(fpin, 0, SEEK_END);
	long inputdata_length =ftell(fpin);
	inputdata_length =  inputdata_length/2;
	rewind(fpin);
	short *wavin = (short *)malloc(inputdata_length * sizeof(short));
	count=fread(wavin, sizeof(short), inputdata_length, fpin);

	//时域信号能量的计算
	for (i=0; i <FFT_LEN; i++) {
		fram_data_r[i]=(float)wavin[i];
		fram_data_i[i]=0.0;
		/* 时域上，直接取绝对值的平方和即可 */
		energy += fabs(fram_data_r[i]) * fabs(fram_data_r[i]);
	}
	printf("timedomain-en:%f\n", energy);

	//频域信号能量的计算
	FFT(fram_data_r, fram_data_i, NULL, FFT_LEN, FFT_ORDER);
	energy=0.0;
	for (i=0; i<FFT_LEN; i++) {
		//energy += fram_data_r[i]*fram_data_r[i] + fram_data_i[i]*fram_data_i[i];
		/* 两种结果是一样的 */
		tmp = sqrt(fram_data_r[i]*fram_data_r[i] + fram_data_i[i]*fram_data_i[i]);
		energy += tmp * tmp;
	}
	energy = energy/FFT_LEN;
	printf("frequencydomain-en:%f\n", energy);

	fclose(fpin);
	return 0;
}

帧长是256时，运行结果如下：

timedomain-en:5294362112.000000

frequencydomain-en:5294362112.000000

巴塞瓦尔能量守恒定理

1. 定理内容

2. 读取音频文件数据进行计算对比

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