共有14个不同的16阶群，其中交换群有5个，其余9个为非交换群。
gap> L:=Factors(16);
[ 2, 2, 2, 2 ]
gap> G:=AbelianGroup(L);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 14 ]
[ 2, 2, 2, 2 ]
gap> L1:=[L[1],L[2],L[3]*L[4]];
[ 2, 2, 4 ]
gap> G:=AbelianGroup(L1);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 10 ]
[ 2, 2, 4 ]
gap> L2:=[L[1]*L[2],L[3]*L[4]];
[ 4, 4 ]
gap> G:=AbelianGroup(L2);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 2 ]
[ 4, 4 ]
gap> L3:=[L[1]*L[2]*L[3]*L[4]];
[ 16 ]
gap> G:=AbelianGroup(L3);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 1 ]
[ 16 ]
gap> L4:=[L[1],L[2]*L[3]*L[4]];
[ 2, 8 ]
gap> G:=AbelianGroup(L4);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 5 ]
[ 2, 8 ]
20151029：陈松良等人的《论60阶群的构造》一文证明了60阶群是单群的充要条件是它的Sylow 5-子群不正规，其余的12个60阶非单群的Sylow 5-子群正规。原文中漏掉了2种60阶群：GAP4[60,7]、GAP4[60,8]。
gap> F:=FreeGroup(1);;G1:=F/[F.1^60];;StructureDescription(G1);IdGroup(G1);
"C60"
[ 60, 4 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G2:=F/[F.1^12, F.2^5,F.1^(-1) * F.2 * F.1*F.2];;StructureDescription(G2);IdGroup(G2);
"C3 x (C5 : C4)"
[ 60, 2 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G3:=F/[F.1^12, F.2^5,F.1^(-1) * F.2 * F.1*(F.2^2)^(-1)];;StructureDescription(G3);IdGroup(G3);
"C3 x (C5 : C4)"
[ 60, 6 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G4:=F/[F.1^30, F.2^2,F.2^(-1) * F.1 * F.2*(F.1)^(-1)];;StructureDescription(G4);IdGroup(G4);
"C30 x C2"
[ 60, 13 ]
gap> F:=FreeGroup(3);;G5:=F/[F.1^6, F.2^2,F.3^5,F.1^(-1) * F.2 * F.1*(F.2)^(-1),F.3^(-1) * F.2 * F.3*(F.2)^(-1),F.1^(-1) * F.3 * F.1*F.3];;StructureDescription(G5);IdGroup(G5);
"C6 x D10"
[ 60, 10 ]
gap> F:=FreeGroup(4);;G6:=F/[F.1^2, F.2^2,F.3^3,F.4^5,F.2^(-1) * F.1 * F.2*(F.1)^(-1),F.3^(-1) * F.1 * F.3*(F.2)^(-1),F.3^(-1) * F.2 * F.3*(F.1*F.2)^(-1),F.1^(-1)*F.4*F.1*F.4^(-1),F.2^(-1)*F.4*F.2*F.4^(-1),F.3^(-1)*F.4*F.3*F.4^(-1)];;StructureDescription(G6);IdGroup(G6);
"C5 x A4"
[ 60, 9 ]
gap> F:=FreeGroup(3);;G7:=F/[F.1^6, F.2^2,F.3^5,F.1^(-1) * F.3 * F.1*(F.3)^(-1),F.2^(-1) * F.3 * F.2*(F.3)^(-1),F.2^(-1) * F.1 * F.2*F.1];;StructureDescription(G7);IdGroup(G7);
"C10 x S3"
[ 60, 11 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G8:=F/[F.1^30, F.2^2,F.2^(-1) * F.1 * F.2*F.1];;StructureDescription(G8);IdGroup(G8);
"D60"
[ 60, 12 ]
gap> F:=FreeGroup(3);;G9:=F/[F.1^6, F.2^2*(F.1^3)^(-1),F.3^5,F.1^(-1) * F.3 * F.1*(F.3)^(-1),F.2^(-1) * F.3 * F.2*(F.3)^(-1),F.2^(-1) * F.1 * F.2*F.1];;StructureDescription(G9);IdGroup(G9);
"C5 x (C3 : C4)"
[ 60, 1 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G10:=F/[F.1^30, F.2^2*(F.1^15)^(-1),F.2^(-1) * F.1 * F.2*F.1];;StructureDescription(G10);IdGroup(G10);
"C15 : C4"
[ 60, 3 ]
gap> F:=FreeGroup(3);;G11:=F/[F.1^3, F.2^3,F.3^3,(F.1 * F.2)^2,(F.1 * F.3)^2,(F.2 * F.3)^2];;StructureDescription(G11);IdGroup(G11);
"A5"
[ 60, 5 ]
gap> for n in [1..13] do G:=SmallGroup(60,n);idn:=IdGroup(G);Print(idn);Print(":");L:=List(Elements(G),Order);;M:=[1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60];;for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;Print("是否幂零：",IsNilpotentGroup(G),",","自同构群：",IdGroup(AutomorphismGroup(G)),",",StructureDescription(G),"\n");od;
[ 60, 1 ]:1,1,2,6,4,2,4,0,8,24,8,0,是否幂零：false,自同构群：[ 48, 35 ],C5 x (C3 : C4)
[ 60, 2 ]:1,1,2,10,4,2,4,20,8,0,8,0,是否幂零：false,自同构群：[ 80, 50 ],C3 x (C5 : C4)
[ 60, 3 ]:1,1,2,30,4,2,4,0,8,0,8,0,是否幂零：false,自同构群：[ 240, 195 ],C15 : C4
[ 60, 4 ]:1,1,2,2,4,2,4,4,8,8,8,16,是否幂零：true,自同构群：[ 16, 10 ],C60
[ 60, 5 ]:1,15,20,0,24,0,0,0,0,0,0,0,是否幂零：false,自同构群：[ 120, 34 ],A5
[ 60, 6 ]:1,5,2,10,4,10,0,20,8,0,0,0,是否幂零：false,自同构群：[ 40, 12 ],C3 x (C5 : C4)
[ 60, 7 ]:1,5,2,30,4,10,0,0,8,0,0,0,是否幂零：false,自同构群：[ 120, 36 ],C15 : C4
[ 60, 8 ]:1,23,2,0,4,10,12,0,8,0,0,0,是否幂零：false,自同构群：[ 120, 36 ],S3 x D10
[ 60, 9 ]:1,3,8,0,4,0,12,0,32,0,0,0,是否幂零：false,自同构群：[ 96, 186 ],C5 x A4
[ 60, 10 ]:1,11,2,0,4,22,4,0,8,0,8,0,是否幂零：false,自同构群：[ 80, 50 ],C6 x D10
[ 60, 11 ]:1,7,2,0,4,2,28,0,8,0,8,0,是否幂零：false,自同构群：[ 48, 35 ],C10 x S3
[ 60, 12 ]:1,31,2,0,4,2,4,0,8,0,8,0,是否幂零：false,自同构群：[ 240, 195 ],D60
[ 60, 13 ]:1,3,2,0,4,6,12,0,8,0,24,0,是否幂零：true,自同构群：[ 48, 35 ],C30 x C2
gap> Factors(60);
[ 2, 2, 3, 5 ]
gap> for n in [1..13] do g:=SmallGroup(60,n);;gid:=StructureDescription(g);Print(gid,"是否超可解：",IsSupersolvableGroup(g));s:=Elements(g);;sl2:=SylowSubgroup(g,2);;Print(IdGroup(sl2),IsSubnormal(g,sl2));sl3:=SylowSubgroup(g,3);;sl5:=SylowSubgroup(g,5);;Print(IdGroup(sl3),IsSubnormal(g,sl3),IdGroup(sl5),IsSubnormal(g,sl5),"\n");od;
C5 x (C3 : C4)是否超可解：true[ 4, 1 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C3 x (C5 : C4)是否超可解：true[ 4, 1 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C15 : C4是否超可解：true[ 4, 1 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C60是否超可解：true[ 4, 1 ]true[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
A5是否超可解：false[ 4, 2 ]false[ 3, 1 ]false[ 5, 1 ]false
C3 x (C5 : C4)是否超可解：true[ 4, 1 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C15 : C4是否超可解：true[ 4, 1 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
S3 x D10是否超可解：true[ 4, 2 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C5 x A4是否超可解：false[ 4, 2 ]true[ 3, 1 ]false[ 5, 1 ]true
C6 x D10是否超可解：true[ 4, 2 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C10 x S3是否超可解：true[ 4, 2 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
D60是否超可解：true[ 4, 2 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C30 x C2是否超可解：true[ 4, 2 ]true[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
定理：p^n阶群G的自同构群的阶|Aut(G)|恒为|Aut(E(p^n))|的因数。
gap> for n in [1..14] do G:=SmallGroup(16,n);idn:=IdGroup(G);Print(idn);Print(":");L:=List(Elements(G),Order);;M:=[1,2,4,8,16];;for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;Print("秩：",RankPGroup(G),",","是否幂零：",IsNilpotentGroup(G),",","自同构群：",Order(AutomorphismGroup(G)),",",StructureDescription(G),"\n");od;
[ 16, 1 ]:1,1,2,4,8,秩：1,是否幂零：true,自同构群：8,C16
[ 16, 2 ]:1,3,12,0,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：96,C4 x C4
[ 16, 3 ]:1,7,8,0,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：32,(C4 x C2) : C2
[ 16, 4 ]:1,3,12,0,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：32,C4 : C4
[ 16, 5 ]:1,3,4,8,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：16,C8 x C2
[ 16, 6 ]:1,3,4,8,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：16,C8 : C2
[ 16, 7 ]:1,9,2,4,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：32,D16
[ 16, 8 ]:1,5,6,4,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：16,QD16
[ 16, 9 ]:1,1,10,4,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：32,Q16
[ 16, 10 ]:1,7,8,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：192,C4 x C2 x C2
[ 16, 11 ]:1,11,4,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：64,C2 x D8
[ 16, 12 ]:1,3,12,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：192,C2 x Q8
[ 16, 13 ]:1,7,8,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：48,(C4 x C2) : C2
[ 16, 14 ]:1,15,0,0,0,秩：4,是否幂零：true,自同构群：20160,C2 x C2 x C2 x C2
gap> for n in [1..14] do G:=SmallGroup(16,n);idn:=IdGroup(G);Print(idn);Print(":");L:=List(Elements(G),Order);;M:=[1,2,4,8,16];;for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;Print("秩：",RankPGroup(G),",","是否幂零：",IsNilpotentGroup(G),",","自同构群：",IdGroup(AutomorphismGroup(G)),",",StructureDescription(G),"\n");od;
[ 16, 1 ]:1,1,2,4,8,秩：1,是否幂零：true,自同构群：[ 8, 2 ],C16
[ 16, 2 ]:1,3,12,0,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 96, 195 ],C4 x C4
[ 16, 3 ]:1,7,8,0,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 32, 27 ],(C4 x C2) : C2
[ 16, 4 ]:1,3,12,0,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 32, 27 ],C4 : C4
[ 16, 5 ]:1,3,4,8,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 16, 11 ],C8 x C2
[ 16, 6 ]:1,3,4,8,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 16, 11 ],C8 : C2
[ 16, 7 ]:1,9,2,4,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 32, 43 ],D16
[ 16, 8 ]:1,5,6,4,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 16, 11 ],QD16
[ 16, 9 ]:1,1,10,4,0,秩：2,是否幂零：true,自同构群：[ 32, 43 ],Q16
[ 16, 10 ]:1,7,8,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：[ 192, 1493 ],C4 x C2 x C2
[ 16, 11 ]:1,11,4,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：[ 64, 138 ],C2 x D8
[ 16, 12 ]:1,3,12,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：[ 192, 955 ],C2 x Q8
[ 16, 13 ]:1,7,8,0,0,秩：3,是否幂零：true,自同构群：[ 48, 48 ],(C4 x C2) : C2
Error, the group identification for groups of size 20160 is not available called from
[ 16, 14 ]:1,15,0,0,0,IdGroup( AutomorphismGroup( G ) ) called from
<function "unknown">( <arguments> )
called from read-eval loop at line 13 of *stdin*
you can 'quit;' to quit to outer loop, or
you can 'return;' to continue
2014-7-5补充:
16阶群G16_6的中心是C_2×C_2，换位子群是C_2。
0
1
6
7
|Z(K8C2)|=4
0
6
|(K8C2)'|=2
这里的K8C2是指(C_4×C_2)与C_2的某种半直积。
16阶Pauli群的中心是C_4，换位子群是C_2。
0
1
14
15
|Z(P)|=4
0
1
|(P)'|=2
20140705证明了16阶Pauli群P是Q_8的扩群；D_4×C_2是D_4的扩群；C_4×C_4是C_4的扩群；S_4是C_4的扩群。
gap> F:=FreeGroup(2);;QD_16:=F/[F.1^8,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1^3)^(-1)];;IdGroup(QD_16);
[ 16, 8 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;QD_8:=F/[F.1^4,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1)^(-1)];;IdGroup(QD_8);
[ 8, 2 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;QD_32:=F/[F.1^16,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1^7)^(-1)];;IdGroup(QD_32);
[ 32, 19 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;QD_64:=F/[F.1^32,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1^15)^(-1)];;IdGroup(QD_64);
[ 64, 53 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;M_32:=F/[F.1^16,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1^9)^(-1)];;IdGroup(M_32);
[ 32, 17 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;M_16:=F/[F.1^8,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1^5)^(-1)];;IdGroup(M_16);
[ 16, 6 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;D_8:=F/[F.1^4,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1^3)^(-1)];;IdGroup(D_8);
[ 8, 3 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;M_64:=F/[F.1^32,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1^17)^(-1)];;IdGroup(M_64);
[ 64, 51 ]
20140706证明了16阶拟二面体群QD_16是Q_8的扩群；D_8是C_8的扩群；D_4是C_4的扩群；C_4×C_2是C_4的扩群；D_4×C_2是C_4×C_2的扩群；G16_6是C_4×C_2的扩群；
Q_8：
0,0,0,0,0,0,0,0
5,6,8,7,2,1,3,4
3,4,2,1,7,8,6,5
2,1,4,3,6,5,8,7
16阶Pauli群P：
0,0,0,0,0,0,0,0
5,6,8,7,2,1,3,4
3,4,2,1,7,8,6,5
2,1,4,3,6,5,8,7
5,6,7,8,1,2,3,4
16阶拟二面体群QD_16：
0,0,0,0,0,0,0,0
5,6,8,7,2,1,3,4
3,4,2,1,7,8,6,5
2,1,4,3,6,5,8,7
8,7,5,6,2,1,4,3
D_4：
0,0,0,0,0,0,0
3,4,1,2,5,7,6
1,3,2,4,5,6,7
D_4×C_2：
0,0,0,0,0,0,0
3,4,1,2,5,7,6
1,3,2,4,5,6,7
1,2,3,4,5,7,6
C_4：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,1,5,6,7,8
C_4×C_4：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,1,5,6,7,8
1,2,3,4,6,7,8,5
C_4×C_2：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,1,5,6,7,8
1,2,3,4,6,5,7,8
D_4：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,1,5,6,7,8
1,4,3,2,6,5,7,8
S_4：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,1,5,6,7,8
1,2,4,3,5,6,7,8
C_8：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,5,6,7,8,1
D_8：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,5,6,7,8,1
8,7,6,5,4,3,2,1
C_4×C_2：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,1,5,6,7,8
4,1,2,3,7,8,5,6
D_4×C_2：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,1,5,6,7,8
4,1,2,3,7,8,5,6
4,3,2,1,8,7,6,5
2014-6-1补充:
幂零、可解之间
低阶群工具http://wims.unice.fr/wims/cn_tool~algebra~smallgroup.html
有限群幂零性的研究http://www.docin.com/p-387566041.html
第1章 引言
1.1 问题的提出及研究意义
对于有限群的幂零性的研究已受到很多群论专家的关注。Ito指出设G是奇数阶群，若群G的每个极小子群都含于Z(G)，则G幂零。还有许多其他专家也得到了若干群幂零的结论（见文献[1]中Ⅳ章），例如幂零还有两个众所周知的等价条件：每一极大子群正规，每一Sylow子群正规。可以说群的幂零性研究是一个著名经典的课题。而从子群的半覆盖避开性、覆盖避开性来研究有限群的性质近几年也引起了专家们的注意。
第2章 绪论
2.1 群论的发展及内容
2.2 群论的研究方法及应用
第3章 预备知识
20151101猜想：有理数域上的分圆扩张的伽罗瓦群不可能是GAP4[16,14]=E_16、GAP4[16,2]=C_4×C_4。或者说对任意n，(Z/nZ)^*≠E_16、C_4×C_4。
gap> n:=16;;for i in [n..500] do Ui:=Units(Integers mod i);;gid:=IdGroup(Ui);if n=gid[1] then Print(i,":",gid,"\n");fi;od;
17:[ 16, 1 ]
GAP4[16,1]=G16_1=C_16
32:[ 16, 5 ]
GAP4[16,5]=G16_3=C_2×C_8=U32有1个1阶元，3个2阶元，4个4阶元，8个8阶元，0个16阶元
34:[ 16, 1 ]
40:[ 16, 10 ]
GAP4[16,10]=G16_4=C_2×C_2×C_4=U40=U48有1个1阶元，7个2阶元，8个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
48:[ 16, 10 ]
60:[ 16, 10 ]
16阶非循环阿贝尔群：K_4⊕C_4=U40=U48≠K_4⊕K_4≠C_8⊕C_2=U32≠C_4⊕C_4
16阶阿贝尔群：K_4×C_4≠ K_4×K_4≠C_8×C_2≠C_4×C_4
群的指数的定义：
The exponent of a group is defined as the least common multiple of the orders of all elements of the group. If there is no least common multiple, the exponent is taken to be infinity (or sometimes zero, depending on the convention).
例如：
16阶初等阿贝尔群C_2×C_2×C_2×C_2的指数为2
16阶阿贝尔群C_4×C_4、C_2×C_2×C_4的指数为4
16阶阿贝尔群C_2×C_8的指数为8
16阶循环群C_16的指数为16
指数为4的16阶非Abel群有5个：G16_6=K8C2、G16_7=C4C4、G16_12=D_4×C_2、G16_13=Q_8×C_2、G16_14=Cb8C2=P
指数为8的16阶非Abel群有4个：G16_8=M_16、G16_9=D_8、G16_10=QD_16、G16_11=Q_16
非Abel幂零群的例子
证明：Q_8和D_4是非Abel幂零群。
rank(Q_8)=2
rank(D_4)=2
证明：9种16阶非Abel群都是幂零群。
编号 GAP 序列号 性质 指数 中心 G/[G,G] 共轭类 子群 子群类 正规子群
1 1 循环 8 C8 C8 8 -- -- --
2 2 阿贝尔 4 C2×C4 C2×C4 8 -- -- --
3 5 阿贝尔 2 C23 C23 8 -- -- --
4 4 幂零 4 C2 C22 5 6 6 6
5 3 幂零 4 C2 C22 5 10 8 6
非幂零可解群的例子
证明：A_4和Q_12是非幂零可解群。
rank(A_4)=2
rank(Q_12)=2
http://groupprops.subwiki.org/wiki/Symmetric_group:S3
群的性质
重要性质
最小的非Abel群、最小的非幂零群，是亚循环群、超可解群、可解群。
解释：
(1,2)和(2,3)不交换
无中心群：中心是平凡的
亚循环群必是超可解群
亚循环群必是可解群
子群有6个，子群类有4个[1,2,3,6阶子群]，正规子群有3个[1,3,6阶子群]
S_3的2阶群不唯一，所以不是正规子群，从而非幂零（群G幂零当且仅当所有Sylow子群都正规）
经典力学的伽利略变换群是6阶非交换群S_3={e,a,b,c,d,f}
e是1阶元
c,d,f是2阶元，c^2=e，d^2=e，f^2=e
a,b是3阶元，ab=ba=e=a^3=b^3
{e,a,b}=C_3是S_3的正规子群
定义域X=R\{0,1}
e(x)=x
a(x)=(x-1)/x
b(x)=1/(1-x)
c(x)=1-x
d(x)=x/(x-1)
f(x)=1/x
例如fa=d，af=c
共轭类的数量性质与有限群结构
http://www.docin.com/p-808223186.html
有限群的共轭类个数与群的性质
http://www.doc88.com/p-384777328732.html
摘要：用群的共轭类个数刻画了交换群，同时用一个很简洁的方法重新证明了Frobenius G提出的一个著名的问题：对于一个固定的数自然数n，共轭类数为n的有限群，在同构的意义下是有限的。
关键词：共轭类；可解群；交换群
1定义及引理
群的共轭类个数和群的性质有非常密切的关系。我们规定：G表示有限群，Con(G)表示G的共轭类个数，o(a)表示元素a的阶。
定义1.1给定群G，对G种的两个元a，b，若存在G种的某个元g，使得g^-1ag=b，就成元素a，b在G中共轭，记为a~b。
定义1.2设a是群G的任意元素，称C_(a)={g∈G|ga=ag}为元素a在G中的中心化子。
2主要结果及其证明
定理2.1有限群G为交换群的充分必要条件是Con(G)=|G|。
定理2.2共轭类数为1的有限群，只能是单位元群{e}。
定理2.3共轭类数为2的有限群，只能是2阶循环群。
定理2.4共轭类为3的有限群
（i）是可解群；（ii）是3阶循环群或者6阶群。
定理2.5共轭类数为n的有限群，在同构意义下是有限的。
http://www.docin.com/p-541668648.html
例1：确定C_2群的特征标表
有2个类，所以l_1=1,l_2=1
C_2 e c_2
χ^(1) 1 1
χ^(2) 1 -1
确定有限群的特征标表的一般方法：
1确定不可约表示的个数和相应维数
2.必有单位表示
3.单位表示的特征标等于表示的维度
4.利用特征标的正交性、完备性定理
5.利用某些群元的特殊性质
6.利用商群
例2：C_3ν群有几个不可约表示？各自维数是多少？求出特征标和表示矩阵。
http://www.docin.com/p-558256003.html
群表示的特征标数学定义及其性质
特征标的定义：群表示的特征标是群表示矩阵的迹（对角矩阵元之和）。
特征标的性质：1同类群元的特征标相同；2等价表示的特征标相同。
对特征标的评价：特征标保留了群的重要信息，与表示矩阵相比，特征标丢掉了一些信息。
有限群不可约表示特征标表
http://www.docin.com/p-376188524.html
用本征函数法计算D_3群特征标
http://www.docin.com/p-255348858.html
Frobenius群及其某些性质的特征标证明
某些Frobenius群的特征标问题及10000阶以内非交换单群的特征标分块
http://www.docin.com/p-706802731.html
引言、符号及预备知识
引言
特征标理论是表示论的基础，对群论的研究及其发展，特别是对群结构的研究有着重要作用。有限群的特征标表可以显示群的许多信息，诸如幂零性、可解性及单性。自从Brauer对有限群G的不可约特征标特征标集Irr(G)的p-块进行研究之后，就有不少关于π-块的讨论。
Frobenius群的若干刻划
http://www.docin.com/p-706287836.html
摘要
有限群的特征标理论中两大著名的应用之一就是Frobenius定理，该定理在上世纪初给出证明，它引领诸多学者随之进行Frobenius群的研究。研究发现Frobenius群是一类极为重要的群，其本身具有很强的性质，在有限群的特征标理论与群的结构理论中均扮演着重要的角色。
本文的目的是进一步刻划Frobenius群。第一章给出了研究Frobenius群所必需的一些预备知识，主要包括一些定义和引理。第二章介绍了Frobenius群的重要群论性质。第三章利用特征标理论刻划了Frobenius群。
关键词：Frobenius群；特征标。
引言
本文中除非特别声明，所指的群均为有限群；所指的特征标均为复数域上的特征标。本文所使用的符号都是标准的，可参看[10]与[30]。
特征标理论在有限群论中的两大著名应用就是Burnside的p^aq^b-定理和Frobenius定理，这两大定理的特征标方法的证明在上世纪初已经得到，于是诸学者开始寻找它们的纯群论的证明，其中Burnside的p^aq^b-定理的纯群论证明在上世纪80年代分别由Bender、Goldschmidt和Matsuyama给出。他们在证明过程中运用了Feit和Thompson证明奇数阶群可解过程中的方法。而Frobenius群的纯群论证明至今尚未得到，这也致使越来越多的学者研究和挑战Frobenius定理。
Frobenius定理是德国数学家F.G.Frobenius在1901年提出的，定理内容是：若群H≠{1}是群G的真子群，且对任意g∈G-H都有H∩H^g={1}，则存在N?G，使得G=N:H。具有这种性质的群后来被命名为Frobenius群。另外，N=G-∪[g∈G](H^g-{1})是G的正规子群，称之为群G的Frobenius核，自上世纪初由Frobenius给出了利用特征标理论的证明后，就引发了找出该定理纯群论证明的挑战，同时也导致了对Frobenius群的研究热潮。
诸多学者在研究Frobenius定理的证明过程中发现Frobenius群本身具有很多独特的性质，例如：Frobenius群G的核N和它的补H的阶是互素的，并且它的核和补都是群G的Hall-子群；任意的L?G都有L<=N或者N<L；由Thompson定理还有G的Frobenius核N是幂零的，Burnside证明了Frobenius补的sylow-子群均是循环群，他也曾证明所有的奇数阶Frobenius补循环，遗憾的是他的证明出现错误，该结论后来被Zassenhaus证明。
Frobenius群除本身具有很多独特的性质之外，在它的性质和结构逐渐清楚之后，使得Frobenius群在有限群的研究和构造中成为一个重要的工具。例如：若非平凡群无不动点地作用在非平凡群N上，则半直积G=N:H就构成Frobenius群，进而可刻划出该群的结构。
关于群的阶与群的不可约特征标个数的商
http://www.docin.com/p-778073095.html
摘要：本文定义了μ(G)=|G|/|Irr(G)|，并给出了|G/G’|=3时μ(G)的范围。
关键词：群的阶；不可约特征标
群的阶、群的不可约特征标个数是有限群的两个重要的数字特征量。在很多情况下，这些数字特征量能够决定这个群的群论结构。
设G是一个有限群，定义μ(G)=|G|/|Irr(G)|μ，则μ(G)可以从某种角度上衡量群G与交换群的接近程度。显然μ(G)>=1，并且μ(G)=1当且仅当G交换。因为μ(G)和|G/G’|都可以反映群G与交换群的接近程度，在文献[1]中已经给出当|G/G’|=1，2时μ(G)的范围，本文将继续讨论当|G/G’|=3时μ(G)的范围。?
下一步计划：用c++程序判定一个群是否幂零、是否可解，并列举出52种48阶群和13种60阶群的结构与表示。
非幂零可解群的进一步区分：非幂零超可解群、非超可解多重循环群、非多重循环可解群
低阶群工具http://wims.unice.fr/wims/cn_tool~algebra~smallgroup.html
http://oeis.org/wiki/Number_of_groups_of_order_n
52种48阶群：5种Abel群，9种非Abel幂零群，38种非幂零可解群
http://pari.math.u-bordeaux.fr/galpol/48/
13种60阶群：2种Abel群，0种非Abel幂零群，10种非幂零可解群，1种非可解群
http://pari.math.u-bordeaux.fr/galpol/60/
第1种60阶群：Q_12×C_5
工具1：DP.exe
请输入群A凯莱表文件名：Q12.txt
请输入群B凯莱表文件名：C5.txt
请输入直积群A×B凯莱表文件名：Q12C5.txt
工具2：calG.exe
请输入群A凯莱表文件名：Q12C5.txt
Q12C5有1个1阶元，1个2阶元，2个3阶元，6个4阶元，4个5阶元，2个6阶元，4个10阶元，0个12阶元，8个15阶元，24个20阶元，8个30阶元，0个60阶元
第2种60阶群：Q_20×C_3
Q20C3有1个1阶元，1个2阶元，2个3阶元，10个4阶元，4个5阶元，2个6阶元，4个10阶元，20个12阶元，8个15阶元，0个20阶元，8个30阶元，0个60阶元
第3种60阶群：C_15:C_4
Q60有1个1阶元，1个2阶元，2个3阶元，30个4阶元，4个5阶元，2个6阶元，4个10阶元，0个12阶元，8个15阶元，0个20阶元，8个30阶元，0个60阶元
第4种60阶群：C_60
C60有1个1阶元，1个2阶元，2个3阶元，2个4阶元，4个5阶元，2个6阶元，4个10阶元，4个12阶元，8个15阶元，8个20阶元，8个30阶元，16个60阶元
第5种60阶群：A_5
A5有1个1阶元，15个2阶元，20个3阶元，0个4阶元，24个5阶元，0个6阶元，0个10阶元，0个12阶元，0个15阶元，0个20阶元，0个30阶元，0个60阶元
20140621
GL(2,5)有1个1阶元，31个2阶元，20个3阶元，152个4阶元，24个5阶元，20个6阶元，40个8阶元，24个10阶元，40个12阶元，0个15阶元，0个16阶元，48个20阶元，80个24阶元，0个30阶元，0个32阶元，0个40阶元，0个48阶元，0个60阶元，0个80阶元，0个96阶元，0个120阶元，0个160阶元，0个240阶元，0个480阶元
SL(2,5)有1个1阶元，1个2阶元，20个3阶元，30个4阶元，24个5阶元，20个6阶元，0个8阶元，24个10阶元，0个12阶元，0个15阶元，0个20阶元，0个24阶元，0个30阶元，0个40阶元，0个60阶元，0个120阶元
SL(2,5)的中心是C_2，换位子群是120阶群，射影中心是60阶群，射影换位子群是C_1
60阶群PSL(2,5)同构于60阶群A_5。
gap> IdGroup(AlternatingGroup(5));
[ 60, 5 ]
gap> IdGroup(PSL(2,5));
[ 60, 5 ]
GL(2,5)是(25-1)(25-5)=480阶群，SL(2,5)是480/4=120阶群，PSL(2,5)是120/2=60阶群。
gap> IdGroup(GL(2,5));
[ 480, 218 ]
gap> IdGroup(PGL(2,5));
[ 120, 34 ]
20140620
GL(2,4)有1个1阶元，15个2阶元，62个3阶元，0个4阶元，24个5阶元，30个6阶元，0个9阶元，0个10阶元，0个12阶元，48个15阶元，0个18阶元，0个20阶元，0个30阶元，0个36阶元，0个45阶元，0个60阶元，0个90阶元，0个180阶元
GL(2,4)=A_5×C_3=D(GL(2,4))×Z(GL(2,4))，即这个180阶群的换位子群、射影中心是A_60，中心、射影换位子群是C_3
第6种60阶群：F_20×C_3
F20C3有1个1阶元，5个2阶元，2个3阶元，10个4阶元，4个5阶元，10个6阶元，0个10阶元，20个12阶元，8个15阶元，0个20阶元，0个30阶元，0个60阶元
第7种60阶群：C_15:C_4
第8种60阶群：D_5×D_3
D5D3有1个1阶元，23个2阶元，2个3阶元，0个4阶元，4个5阶元，10个6阶元，12个10阶元，0个12阶元，8个15阶元，0个20阶元，0个30阶元，0个60阶元
第9种60阶群：A_4×C_5
A4C5有1个1阶元，3个2阶元，8个3阶元，0个4阶元，4个5阶元，0个6阶元，12个10阶元，0个12阶元，32个15阶元，0个20阶元，0个30阶元，0个60阶元
第10种60阶群：D_5×C_6=D_10×C_3=D_5×C_2×C_3
D5C6=D10C3有1个1阶元，11个2阶元，2个3阶元，0个4阶元，4个5阶元，22个6阶元，4个10阶元，0个12阶元，8个15阶元，0个20阶元，8个30阶元，0个60阶元
第11种60阶群：C_10×D_3
C10D3有1个1阶元，7个2阶元，2个3阶元，0个4阶元，4个5阶元，2个6阶元，28个10阶元，0个12阶元，8个15阶元，0个20阶元，8个30阶元，0个60阶元
第12种60阶群：D_30
D15C2有1个1阶元，31个2阶元，2个3阶元，0个4阶元，4个5阶元，2个6阶元，4个10阶元，0个12阶元，8个15阶元，0个20阶元，8个30阶元，0个60阶元
第13种60阶群：C_15×C_2×C_2
C15C2C2有1个1阶元，3个2阶元，2个3阶元，0个4阶元，4个5阶元，6个6阶元，12个10阶元，0个12阶元，8个15阶元，0个20阶元，24个30阶元，0个60阶元
52种48阶群
编号 GAP 序列号 性质 指数 中心 G/[G,G] 共轭类 子群 子群类 正规子群
1 2 循环 48 C3×C16 C3×C16 48 -- -- --
2 23 阿贝尔 24 C2×C3×C8 C2×C3×C8 48 -- -- --
3 20 阿贝尔 12 C3×C42 C3×C42 48 -- -- --
4 44 阿贝尔 12 C22×C3×C4 C22×C3×C4 48 -- -- --
5 52 阿贝尔 6 C24×C3 C24×C3 48 -- -- --
6 7 两面体 24 C2 C22 15 68 22 11
7 27 幂零 24 C2×C3 C22×C3 21 22 18 14
8 26 幂零 24 C2×C3 C22×C3 21 30 20 14
9 25 幂零 24 C2×C3 C22×C3 21 38 22 14
10 24 幂零 24 C3×C4 C2×C3×C4 30 22 20 18
11 47 幂零 12 C3×C4 C23×C3 30 46 40 34
12 22 幂零 12 C22×C3 C2×C3×C4 30 30 26 22
13 21 幂零 12 C22×C3 C2×C3×C4 30 46 34 22
14 46 幂零 12 C22×C3 C23×C3 30 38 38 38
15 45 幂零 12 C22×C3 C23×C3 30 70 54 38
16 1 可解 48 C8 C16 24 12 10 9
17 28 可解 24 C2 C2 8 35 13 5
18 29 可解 24 C2 C2 8 55 16 5
19 18 可解 24 C2 C22 12 32 18 11
20 16 可解 24 C2 C22 12 40 20 11
21 17 可解 24 C2 C22 12 48 20 11
22 15 可解 24 C2 C22 12 56 22 11
23 8 可解 24 C2 C22 15 36 18 11
24 6 可解 24 C2 C22 15 52 20 11
25 10 可解 24 C4 C2×C4 18 28 20 15
26 5 可解 24 C4 C2×C4 18 36 20 13
27 4 可解 24 C8 C2×C8 24 36 22 15
28 9 可解 24 C2×C4 C2×C8 24 28 22 19
29 3 可解 12 1 C3 8 36 10 4
30 30 可解 12 C2 C4 10 52 19 7
31 48 可解 12 C2 C22 10 98 33 9
32 40 可解 12 C2 C23 15 64 38 25
33 39 可解 12 C2 C23 15 72 40 23
34 41 可解 12 C2 C23 15 80 40 23
35 38 可解 12 C2 C23 15 120 54 25
36 33 可解 12 C4 C2×C3 14 37 15 7
37 37 可解 12 C4 C23 18 76 40 23
38 31 可解 12 C4 C3×C4 16 42 19 9
39 32 可解 12 C22 C2×C3 14 41 18 9
40 12 可解 12 C22 C2×C4 18 44 26 17
41 13 可解 12 C22 C2×C4 18 44 26 19
42 19 可解 12 C22 C2×C4 18 60 34 19
43 14 可解 12 C22 C2×C4 18 76 34 17
44 34 可解 12 C22 C23 18 60 38 27
45 43 可解 12 C22 C23 18 108 54 27
46 36 可解 12 C22 C23 18 124 54 27
47 11 可解 12 C2×C4 C42 24 44 30 23
48 35 可解 12 C2×C4 C22×C4 24 92 54 35
49 42 可解 12 C23 C22×C4 24 76 54 43
50 50 可解 6 1 C3 8 104 34 8
51 49 可解 6 C22 C22×C3 16 92 39 15
52 51 可解 6 C23 C24 24 236 134 83
13种60阶群
号 GAP 序列号 性质 指数 中心 G/[G,G] 共轭类 子群 子群类 正规子群
1 5 单 30 1 1 5 59 9 2
2 4 循环 60 C3×C4×C5 C3×C4×C5 60 -- -- --
3 13 阿贝尔 30 C22×C3×C5 C22×C3×C5 60 -- -- --
4 12 两面体 30 C2 C22 18 80 20 11
5 7 可解 60 1 C4 9 40 12 7
6 3 可解 60 C2 C4 18 32 12 9
7 6 可解 60 C3 C3×C4 15 28 12 8
8 2 可解 60 C2×C3 C3×C4 24 20 12 10
9 1 可解 60 C2×C5 C4×C5 30 16 12 10
10 8 可解 30 1 C22 12 72 20 10
11 9 可解 30 C5 C3×C5 20 20 10 6
12 10 可解 30 C2×C3 C22×C3 24 44 20 14
13 11 可解 30 C2×C5 C22×C5 30 32 20 14
15种24阶群
编号 GAP 序列号 性质 指数 中心 G/[G,G] 共轭类 子群 子群类 正规子群
1 2 循环 24 C3×C8 C3×C8 24 -- -- --
2 9 阿贝尔 12 C2×C3×C4 C2×C3×C4 24 -- -- --
3 15 阿贝尔 6 C23×C3 C23×C3 24 -- -- --
4 6 两面体 12 C2 C22 9 34 16 9
5 11 幂零 12 C2×C3 C22×C3 15 12 12 12
6 10 幂零 12 C2×C3 C22×C3 15 20 16 12
7 1 可解 24 C4 C8 12 10 8 7
8 12 可解 12 1 C2 5 30 11 4
9 3 可解 12 C2 C3 7 15 7 4
10 4 可解 12 C2 C22 9 18 12 9
11 8 可解 12 C2 C22 9 30 16 9
12 5 可解 12 C4 C2×C4 12 26 16 11
13 7 可解 12 C22 C2×C4 12 22 16 13
14 13 可解 6 C2 C2×C3 8 26 12 6
15 14 可解 6 C22 C23 12 54 32 21
14种16阶群
编号 GAP 序列号 性质 指数 中心 G/[G,G] 共轭类 子群 子群类 正规子群
1 1 循环 16 C16 C16 16 -- -- --
2 5 阿贝尔 8 C2×C8 C2×C8 16 -- -- --
3 2 阿贝尔 4 C42 C42 16 -- -- --
4 10 阿贝尔 4 C22×C4 C22×C4 16 -- -- --
5 14 阿贝尔 2 C24 C24 16 -- -- --
6 9 幂零 8 C2 C22 7 11 9 7
7 8 幂零 8 C2 C22 7 15 10 7
8 7 幂零 8 C2 C22 7 19 11 7
9 6 幂零 8 C4 C2×C4 10 11 10 9
10 13 幂零 4 C4 C23 10 23 20 17
11 4 幂零 4 C22 C2×C4 10 15 13 11
12 3 幂零 4 C22 C2×C4 10 23 17 11
13 12 幂零 4 C22 C23 10 19 19 19
14 11 幂零 4 C22 C23 10 35 27 19
互不同构的18 阶和20 阶群http://www.docin.com/p-528221628.html
http://www.math.niu.edu/~beachy/courses/algebra/pedersen/small_groups.html
2种10阶群：
GAP4[10,2]=G10_1=C_10有1个1阶元，1个2阶元，4个5阶元，4个10阶元
GAP4[10,1]=G10_2=D_5有1个1阶元，5个2阶元，4个5阶元，0个10阶元
5种20阶群：
GAP4[20,2]=G20_1=C_20有1个1阶元，1个2阶元，2个4阶元，4个5阶元，4个10阶元，8个20阶元
GAP4[20,5]=G20_2=C_2×C_2×C_5有1个1阶元，3个2阶元，0个4阶元，4个5阶元，12个10阶元，0个20阶元
GAP4[20,1]=G20_3=Q_20有1个1阶元，1个2阶元，10个4阶元，4个5阶元，4个10阶元，0个20阶元
GAP4[20,3]=G20_4=F_20(Frobenius group F_20)有1个1阶元，5个2阶元，10个4阶元，4个5阶元，0个10阶元，0个20阶元
【
用几何的方式定义置换群。
我们考虑的主要是有限置换群，我们用的域都是有限域F
F上一维仿射群AGL_1(F)构成F的对称群Sym(F)的一个子群。
如果|F|=q，则|AGL_1(F)|=q(q-1)
这时为了清楚起见，我们往往用AGL_1(q)来代替AGL_1(F)
F_5上的1维一般仿射群GA(1,5)=Sz(2)=GAP4[20,3]是F_5的加法群和乘法群的半直积。
Sz(2)是唯一的非单铃木群。铃木群以日本数学家铃木通夫(M.Suzuki,1926-1998)的姓氏命名
gap> G:=SuzukiGroup(2);IdGroup(G);
Sz(2)
[ 20, 3 ]
从有限域GF(q)构造出q*(q-1)阶群：
GA(1,2)=C_2=GAP4[2,1]
GA(1,3)=S_3=GAP4[6,1]
GA(1,4)=A_4=GAP4[12,3]
GA(1,5)=SuzukiGroup(2)=GAP4[20,3]
GA(1,7)=GAP4[42,1]
GA(1,8)=GAP4[56,11]
GA(1,9)=GAP4[72,39]
】
GAP4[20,4]=G20_5=D_10=D_5×C_2有1个1阶元，11个2阶元，0个4阶元，4个5阶元，4个10阶元，0个20阶元
4种30阶群：
GAP4[30,4]=G30_1=C_30有1个1阶元，1个2阶元，2个3阶元，4个5阶元，2个6阶元，4个10阶元，8个15阶元，8个30阶元
GAP4[30,1]=G30_2=D_3×C_5有1个1阶元，3个2阶元，2个3阶元，4个5阶元，0个6阶元，12个10阶元，8个15阶元，0个30阶元
GAP4[30,2]=G30_3=D_5×C_3有1个1阶元，5个2阶元，2个3阶元，4个5阶元，10个6阶元，0个10阶元，8个15阶元，0个30阶元
GAP4[30,3]=G30_4=D_15有1个1阶元，15个2阶元，2个3阶元，4个5阶元，0个6阶元，0个10阶元，8个15阶元，0个30阶元
GL(2,Z[i])的有限子群http://www.docin.com/p-717625929.html
16阶模群<{0,1,0,0,0,0,1,0},{0,1,1,0,1,1,-1,-1}>=<{0,1,0,0,0,0,1,0},{1,0,0,-1,0,0,0,0}>的C++程序实现：
CIM2 g_CIM2Elem[16]={
{1,0,0,1,0,0,0,0},//I=Y^2
{-1,0,0,-1,0,0,0,0},//-I=X^4
{0,1,0,0,0,0,1,0},//X
{0,1,1,0,1,1,-1,-1},//Y
{0,0,0,0,1,0,0,1},//X^2
{0,0,-1,0,0,1,0,0},//X^3
{1,0,-1,-1,-1,-1,0,1},//XY
{-1,0,1,1,1,1,0,-1},//YX=-XY
{0,-1,0,0,0,0,-1,0},//-X
{0,-1,-1,0,-1,-1,1,1},//-Y
{0,0,0,0,-1,0,0,-1},//-X^2
{0,0,1,0,0,-1,0,0},//-X^3
{-1,-1,1,1,0,1,1,0},//X^2Y=YX^2
{1,1,0,-1,1,0,-1,-1},//X^3Y
{-1,-1,0,1,-1,0,1,1},//YX^3=-X^3Y
{1,1,-1,-1,0,-1,-1,0}//-X^2Y=-YX^2
};
或
CIM2 g_CIM2Elem[16]={
{1,0,0,1,0,0,0,0},//I=Y^2
{-1,0,0,-1,0,0,0,0},//-I=X^4
{0,1,0,0,0,0,1,0},//X
{1,0,0,-1,0,0,0,0},//Y
{0,0,0,0,1,0,0,1},//X^2
{0,0,-1,0,0,1,0,0},//X^3
{0,-1,0,0,0,0,1,0},//XY
{0,1,0,0,0,0,-1,0},//YX=-XY
{0,-1,0,0,0,0,-1,0},//-X
{-1,0,0,1,0,0,0,0},//-Y
{0,0,0,0,-1,0,0,-1},//-X^2
{0,0,1,0,0,-1,0,0},//-X^3
{0,0,0,0,1,0,0,-1},//X^2Y=
{0,0,-1,0,0,-1,0,0},//X^3Y
{0,0,1,0,0,1,0,0},//YX^3=-X^3Y
{0,0,0,0,-1,0,0,1}//-X^2Y=
};
int g_M16Mul[16][16]={
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15},
{1,0,8,9,10,11,7,6,2,3,4,5,15,14,13,12},
{2,8,4,6,5,1,12,15,10,7,11,0,13,9,3,14},
{3,9,7,0,12,14,8,2,6,1,15,13,4,11,5,10},
{4,10,5,12,1,8,13,14,11,15,0,2,9,7,6,3},
{5,11,1,13,8,10,9,3,0,14,2,4,7,15,12,6},
{6,7,15,2,13,3,10,4,12,8,14,9,5,0,1,11},
{7,6,12,8,14,9,4,10,15,2,13,3,11,1,0,5},
{8,2,10,7,11,0,15,12,4,6,5,1,14,3,9,13},
{9,3,6,1,15,13,2,8,7,0,12,14,10,5,11,4},
{10,4,11,15,0,2,14,13,5,12,1,8,3,6,7,9},
{11,5,0,14,2,4,3,9,1,13,8,10,6,12,15,7},
{12,15,14,4,9,6,11,5,13,10,3,7,1,2,8,0},
{13,14,3,5,7,12,0,1,9,11,6,15,8,4,10,2},
{14,13,9,11,6,15,1,0,3,5,7,12,2,10,4,8},
{15,12,13,10,3,7,5,11,14,4,9,6,0,8,2,1},
};
G16ElementToOrder(0)=1
G16ElementToOrder(1)=2
G16ElementToOrder(2)=8
G16ElementToOrder(3)=2
G16ElementToOrder(4)=4
G16ElementToOrder(5)=8
G16ElementToOrder(6)=8
G16ElementToOrder(7)=8
G16ElementToOrder(8)=8
G16ElementToOrder(9)=2
G16ElementToOrder(10)=4
G16ElementToOrder(11)=8
G16ElementToOrder(12)=4
G16ElementToOrder(13)=8
G16ElementToOrder(14)=8
G16ElementToOrder(15)=4
GL(2,Z[i])的16阶子群 G16_8=M_16有1个1阶元，3个2阶元，4个4阶元，8个8阶元，0个16阶元
SU(2)的16阶子群Pauli group G_1=P=G16_14的C++程序实现：
struct CIM2
{
int a,b,c,d;
int ai,bi,ci,di;
};
CIM2 g_CIM2Elem[16]={
{1,0,0,1,0,0,0,0},//I
{-1,0,0,-1,0,0,0,0},//-I
{0,0,0,0,1,0,0,1},//iI
{0,0,0,0,-1,0,0,-1},//-iI
{0,1,1,0,0,0,0,0},//X
{0,-1,-1,0,0,0,0,0},//-X
{0,0,0,0,0,1,1,0},//iX
{0,0,0,0,0,-1,-1,0},//-iX
{0,0,0,0,0,-1,1,0},//Y
{0,0,0,0,0,1,-1,0},//-Y
{0,1,-1,0,0,0,0,0},//iY
{0,-1,1,0,0,0,0,0},//-iY
{1,0,0,-1,0,0,0,0},//Z
{-1,0,0,1,0,0,0,0},//-Z
{0,0,0,0,1,0,0,-1},//iZ
{0,0,0,0,-1,0,0,1}//-iZ
};
int g_PMul[16][16]={
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15},
{1,0,3,2,5,4,7,6,9,8,11,10,13,12,15,14},
{2,3,1,0,6,7,5,4,10,11,9,8,14,15,13,12},
{3,2,0,1,7,6,4,5,11,10,8,9,15,14,12,13},
{4,5,6,7,0,1,2,3,14,15,13,12,11,10,8,9},
{5,4,7,6,1,0,3,2,15,14,12,13,10,11,9,8},
{6,7,5,4,2,3,1,0,13,12,15,14,8,9,10,11},
{7,6,4,5,3,2,0,1,12,13,14,15,9,8,11,10},
{8,9,10,11,15,14,12,13,0,1,2,3,6,7,5,4},
{9,8,11,10,14,15,13,12,1,0,3,2,7,6,4,5},
{10,11,9,8,12,13,14,15,2,3,1,0,5,4,7,6},
{11,10,8,9,13,12,15,14,3,2,0,1,4,5,6,7},
{12,13,14,15,10,11,9,8,7,6,4,5,0,1,2,3},
{13,12,15,14,11,10,8,9,6,7,5,4,1,0,3,2},
{14,15,13,12,9,8,11,10,4,5,6,7,2,3,1,0},
{15,14,12,13,8,9,10,11,5,4,7,6,3,2,0,1},
};
G16ElementToOrder(0)=1
G16ElementToOrder(1)=2
G16ElementToOrder(2)=4
G16ElementToOrder(3)=4
G16ElementToOrder(4)=2
G16ElementToOrder(5)=2
G16ElementToOrder(6)=4
G16ElementToOrder(7)=4
G16ElementToOrder(8)=2
G16ElementToOrder(9)=2
G16ElementToOrder(10)=4
G16ElementToOrder(11)=4
G16ElementToOrder(12)=2
G16ElementToOrder(13)=2
G16ElementToOrder(14)=4
G16ElementToOrder(15)=4
Pauli group P=G16_14有1个1阶元，7个2阶元，8个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
【
三维紧致单连通单Lie群SU(2)[幺正幺模]的表示：
单位四元数组成Lie群SU(2)，其基本表示为Pauli矩阵。
SU(2)的基本表示（二维表示）是g={{z_1,-~z_2},{z_2,~z_1}}∈SU(2)
其中复数z_1,z_2满足条件：|z_1|^2+|z_2|^2=1
令z_1=t-iz,z_2=y-ix
则约束可表示为t^2+z^2+y^2+x^2=1
SU(2)群流形相当于R^4中的单位球S^3
|i|=|j|=|k|=1
】
【
1777年的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx(x可以是实数、复数、四元数、n*n矩阵等代数对象),e^ipi+1=0,虚数i=e^((pi/2)i)代表旋转pi/2，-1=e^(pii)代表旋转pi。e是自然对数的底，i是虚数单位。e^x可以是负数。用实三角函数表示复指数函数。可用复指数函数表示实（复）三角函数：sinx=(e^(ix)-e^(-ix))/2i（奇2pi,sinz=-ish(iz)）,cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2i(偶2pi,cosz=chiz)。按：棣模弗(de Moivre)公式：e^(±xi)=cosx±isinx。虽然柯特斯（R.Cotes）在1714年发表了这个公式且与欧拉给出的略有不同，但只有欧拉才使该公式得到了广泛的应用。r_1e^(ia_1)·r_2e^(ia_2)=r_1r_2e^(i(a_1+a_2)),二维实Banach代数中的乘法：(a,b)×(c,d)=(ac-bd,ad+bc),(cosa_1,sina_1）·(cosa_2,sina_2）=(cos(a_1+a_2),sin(a_1+a_2))。mathlib72.dll中的_ocmul@40或CMul:=(9+11j)(56+3j)=471+643j。二维实内积空间中a+bi与c+di正交的充要条件是矢量点乘ac+bd=0。
按：复矩阵乘法(A_1,A_2)×(B_1,B_2)=(A_1B_1-A_2B_2,A_1B_2+A_2B_1)=>二维实Banach代数中的乘法（复数乘法）：(a_1,a_2)×(b_1,b_2)=(a_1b_1-a_2b_2,a_1b_2+a_2b_1)。20110426定理（对1,2阶方阵已证明）：(A+Bi)^(-1)=((detA)A^(-1)+(detB)B^(-1))/det(A+Bi)=((detA)A^(-1)+(detB)B^(-1))/[detA-detB+i(det(A+B)-det(A-B))/2]=u(A,B)+v(A,B)i=>z^-1=1/z=~z/|z|^2=~z/detz=(a+bi)^(-1)=(a+bi)/(a^2-b^2+2abi)=1/(a+bi)=(a-bi)/(a^2+b^2)=>a^-1=a/a^2=(a)/det(a)。记N(A,B)=(detA-detB)^2+[(det(A+B)-det(A-B))/2]^2，M(A,B)=(detA)A^(-1)(detA-detB)+(detB)B^(-1)[(det(A+B)-det(A-B))/2]+{(detB)B^(-1)(detA-detB)-(detA)A^(-1)[(det(A+B)-det(A-B))/2]}i，则(A,B)^(-1)=(A+Bi)^(-1)=M(A,B)/N(A,B)!≡(A,-B)(A^2+B^2)^(-1)（当AB=BA时才成立）!≡(A,-B)/[detA+detB]=>(a_1,a_2)^(-1)=(a_1,-a_2)/[(a_1)^2+(a_2)^2]。在初等函数范围内，实函能唯一自然地推广为复函基于实数推广为复数。推广前，一个初等函数通常是指这样的一元实函：1.可以用初等解析式表示；2.可以由6种基本初等函数经过有限次四则运算或函数的复合而得；3.在定义区间连续。初等函数概念的推广：将对数、指数和三角函数推广到复数领域。
】
令p(x)是域F_p上一个n次不可约多项式，则<p(x)>是环F_p[x]的极大理想。域F_p[x]/<p(x)>中每个元素都可惟一地表示成
a_0+a_1x+…+a_(n_1)x^(n-1)+<p(x)>，a_i∈F_p，但由于系数取自于F_p，每个a_i都有p种取法，故系数共有p^n种取法。亦即域F_p/<p(x)>共包含p^n个元素。
p(x)=x^2+x+1是F_2上一个不可约多项式。因为p(0)=1,p(1)=1,p(x)=0在F_2上无解。
如果把a_0+a_1x+<x^2+x+1>简记为a_0+a_1x，则F_4中的4个域元就可以写成0,1,x,x+1。
但应注意，它们的系数都属于F_2，而且相乘时需用x^2+x+1除后所得余式作为其乘积。
F_4=F_2[x]/<x^2+x+1>的加法运算表：
| + |
0 |
1 |
x |
x+1 |
| 0 |
0 |
1 |
x |
x+1 |
| 1 |
1 |
0 |
x+1 |
x |
| x |
x |
x+1 |
0 |
1 |
| x+1 |
x+1 |
x |
1 |
0 |
乘法运算表：
| * |
0 |
1 |
x |
x+1 |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 1 |
0 |
1 |
x |
x+1 |
| x |
0 |
x |
x^2=x+1 |
x(x+1)=x^2+x=(x^2+x+1)+1=1 |
| x+1 |
0 |
x+1 |
1 |
x^2+1=x |
F_4的域元编号
0——(0,0)
1——(1,0)
2——(0,1)
3——(1,1)
加法群C_2×C_2的凯莱运算表：
0 1 2 3
1 0 3 2
2 3 0 1
3 2 1 0
乘法表：
0 0 0 0
0 1 2 3
0 2 3 1
0 3 1 2
p(x)=x^2+1在F_3上不可约，因为p(0)=1,p(1)=2,p(2)=2,p(x)=0在F_3上无解。
所以F_9=F_3[x]/<x^2+1>={0,1,2,x,x+1,x+2,2x,2x+1,2x+2}
其加法和乘法既要遵从模3的加法和乘法(系数)，又要遵从以x^2+1为模的加法和乘法（多项式），也就是常说的“双模运算”。
p(x)=x^3+x+1在F_2上不可约，因为p(0)=1,p(1)=1，所以F_8=F_2[x]/<x^3+x+1>。
通过理想来研究环，这是研究环的基本方法。但是，由于域只有平凡理想，因此无法通过域的理想来研究域。要研究域，必须采取别的方法，其中最基本的方法就是对域进行扩张。域的扩张起源于数域的扩张。
对一般域E来说，如果E上每个多项式都能分解成E上一次多项式的乘积，则称这样的E为代数闭域。
这样，复数域就是一个代数闭域（代数基本定理）。代数闭域不再有真正的代数扩域。
f(x)在F上的分裂域E是包含F且f(x)能在其中完全分解的最小域。
定理：有限域F_q=GF(p^n)是多项式x^q-x=x^(p^n)-x在其所含素域F_p上的分裂域。
定理：有限域F的非零元素作成的乘群是一个循环群。
由此定理可知，任何有限域都可表示成F_q={0,1,a,…,a^(q-2)}，于是F_q是其素域F_p的一个单扩域，这
样的a称为q阶有限域F_q的一个原根，它是素域F_p上n次代数元。
定理：对有限域F_p^n和n的每个正因子m，存在且只存在一个p^m阶子域。
12阶循环环(加法群是C_12)有T(12)=|{1,2,3,4,6,12}|=6个
12阶非循环环(加法群是C_2×C_2×C_3)有22-6=16个
问题：把22种12阶环构造出来？
Z/8Z是一个交换局部环,J(Z/8Z)={0,2,4,8}=(2)
R={{{a,b,c},{0,a,0},{0,0,a}}|a,b,c∈Z/2Z}<=M_3(Z/2Z)是8阶交换局部环
C_2×C_2×C_2——>R8_C2C2C2_28_4a
R’={{{a,0,c},{0,a,b},{0,0,a}}|a,b,c∈Z/2Z}<=M_3(Z/2Z)是8阶交换局部环
C_2×C_2×C_2——>R8_C2C2C2_28_4b
R=R'
14种16阶群的结构与表示
【
一个群G的秩rank(G)，是G的各个生成集合中最小的势，也就是
rank(G)=min{|X|:X{<=}G,<X>=G}
若G是有限生成群，则G的秩是非负整数。
群的秩这个群论概念，类似于向量空间的维数。事实上，如果P是p-群，那么群P的秩，等于向量空间P/Φ(P)的维数，其中Φ(P)是P的弗拉蒂尼子群。
例子
对非平凡群G，rank(G)=1当且仅当G是循环群。
对自由阿贝尔群Z^n，有rank(Z^n)=n。
若G是有限非阿贝尔单群，则rank(G)=2。这是从有限单群分类得出的结果。
若G是有限生成群，Φ(G)≤G是G的弗拉蒂尼子群（Φ(G)一定是G的正规子群，故此商群G/Φ(G)可定义），则rank(G) = rank(G/Φ(G))。
若G=<x_1,…,x_n|r=1>是单关系元群，r不是自由群F(x1,..., xn)的本原元，即r不在F(x1,..., xn)的某个自由基之内，则rank(G)=n。
】
http://users.minet.uni-jena.de/~green/Coho_v3/16gps/index.html
http://users.minet.uni-jena.de/~green/Coho_v3/index.html
http://groupprops.subwiki.org/wiki/Groups_of_order_16
http://escarbille.free.fr/group.php
http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/grouptables1.html
16阶非Abel群有9个：D_8,P_2,Q_16,D_4×C_2,P_5,Q_8×C_2,P_7,P_8,P_9
注意：16阶Abel群G16_4和16阶非Abel群G16_6、G16_14有相同的群元阶数分布，16阶Abel群G16_2和16阶非Abel群G16_7、G16_13，16阶Abel群G16_3和16阶非Abel群G16_8有相同的群元阶数分布，但这3组16阶群显然不同构
GAP4[16,1]=G16_1=C_16有1个1阶元，1个2阶元，2个4阶元，4个8阶元，8个16阶元
GAP4[16,2]=G16_2=C_4×C_4有1个1阶元，3个2阶元，12个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,5]=G16_3=C_2×C_8有1个1阶元，3个2阶元，4个4阶元，8个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,10]=G16_4=C_2×C_2×C_4有1个1阶元，7个2阶元，8个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,14]=G16_5=C_2×C_2×C_2×C_2有1个1阶元，15个2阶元，0个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,3]=Rank=2非Abel幂零群G16_6=K8C2有1个1阶元，7个2阶元，8个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,4]=Rank=2非Abel幂零群G16_7=C4C4有1个1阶元，3个2阶元，12个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,6]=G16_8=M_16有1个1阶元，3个2阶元，4个4阶元，8个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,7]=G16_9=D_8有1个1阶元，9个2阶元，2个4阶元，4个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,8]=G16_10=QD_16有1个1阶元，5个2阶元，6个4阶元，4个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,9]=G16_11=Q_16有1个1阶元，1个2阶元，10个4阶元，4个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,11]=G16_12=D_4×C_2有1个1阶元，11个2阶元，4个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,12]=Rank=3非Abel幂零群G16_13=Q_8×C_2有1个1阶元，3个2阶元，12个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,13]=Rank=3非Abel幂零群G16_14=Cb8C2=P有1个1阶元，7个2阶元，8个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
gap> G:=SmallGroup(16,3);IdGroup(G);RankPGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,4,8,16];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<pc group of size 16 with 4 generators>
[ 16, 3 ]
2
[ 1, 4, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 2, 4 ]
[ 1, 2, 4, 8, 16 ]
1,7,8,0,0,
gap> G:=SmallGroup(16,13);IdGroup(G);RankPGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,4,8,16];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;
<pc group of size 16 with 4 generators>
[ 16, 13 ]
3
[ 1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 4, 4, 2 ]
[ 1, 2, 4, 8, 16 ]
1,7,8,0,0,
问题：求16阶群GAP4[16,7]=O_2(F_7)=D_8的子群。
O(2,7)有1个1阶元(e=1,0,0,1)，9个2阶元(x=0,1,1,0,a^4=6,0,0,6,xa=5,2,2,2,xa^2=6,0,0,1,xa^3=5,5,5,2,xa^4=0,6,6,0,xa^5=2,5,5,5,xa^6=1,0,0,6,xa^7=7=2,2,2,5)，2个4阶元(a^2=0,1,6,0,a^6=0,6,1,0)，4个8阶元
(a=2,2,5,2,a^3=5,2,5,5,a^5=13=5,5,2,5,a^7=2,5,2,2)，0个16阶元
e=1,x=2,a=8
a^2=3=0,1,6,0
a^4=3*3=16=6,0,0,6
a^3=12=5,2,5,5
a^5=13=5,5,2,5
a^6=4=0,6,1,0
a^7=9=2,5,2,2
xa=2*8=11=5,2,2,2
xa^2=11*8=15=6,0,0,1
xa^3=15*8=14=5,5,5,2
xa^4=14*8=5=0,6,6,0
xa^5=5*8=10=2,5,5,5
xa^6=10*8=6=1,0,0,6
xa^7=6*8=7=2,2,2,5
在这16个正交矩阵中，行列式值为1的正交矩阵有8个：e=1,a^2=3,a^6=4,a=8,a^7=9,a^3=12,a^5=13,a^4=16；行列式值为-1的正交矩阵有8个：除a^4之外的8个2阶元。
D_8=<a,x|a^8=x^2=e,xax^(-1)=a^-1>
D_4=<b=a^2,x|b^4=a^8=x^2=e,xa^2x^(-1)=(a^2)^-1>={e,a^2,a^4,a^6,x,xa^2,xa^4,xa^6}
1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 1 8 5 6 7
3 4 1 2 7 8 5 6
4 1 2 3 6 7 8 5
5 6 7 8 1 2 3 4
6 7 8 5 4 1 2 3
7 8 5 6 3 4 1 2
8 5 6 7 2 3 4 1
1
4
2
4
2
2
2
2