子群的生成
定义：设G是一个群，X是G的一个子集，设\(\{H_i \}_{i \in I}\)是G的包含X的所有子群，则\(\bigcap_{i\in I}H_i\)构成G的一个子群，叫做G的由X生成的子群，记为
证明.
\(\forall a,b\in \bigcap_{i\in I}H_i, a,b\in H_i,for\space all\space i\in I\)
由于\(H_i\)是各自为一个群，则\(ab^{-1}\in H_i,for\space all\space i\in I\)
\(\therefore ab^{-1}\in\bigcap_{i\in I}H_i\)
\(\therefore \bigcap_{i\in I}H_i\)是G的一个子群
Notation： X的元素称为子群
下面给出生成子群中元素的显示表示：
设G是一个群，X=<\(a_1,\cdots,a_t\)>是G的一个子集则，
元素的阶：设G是一个群，a\(\in\)G，则子群<\(a\)>的阶称为元素a的阶，记为ord<\(a\)>。
事实上，元素a的阶，ord<\(a\)>，就是满足\(a^n=e\)的最小正整数 n。
证明：满足ord(a) > 2的元素 a 的个数一定是偶数。
当\(a=a^{-1}\)时，\(a^2=e\)，则 ord(a) = 2
所以满足 ord(a)>2 的元素a，都满足\(a\ne a^{-1}\)
设ord(a) = n
\((a^{-1})^n = (a^n)^{-1}=e^{-1}=e\)
假设\(\exists n', 1\le n' <n\)使得，\((a^{-1})^{n'}=e\)
则：\(a^{n'}=((a^{-1})^{-1})^{n'}=((a^{-1})^{n'})^{-1}=e^{-1}=e\)
而这与ord(a)=n的前提相违背
所以\(ord(a^{-1})=ord(a)=n\)
综上所述，一个群中的元素的阶如果大于2，那么这个元素与它的逆元一定是不相同的，并且与逆元的阶是相等的。
所以满足ord(a) > 2的元素都是成对存在的。
循环群
在讨论群的结构时，循环群是最为简单的一种群的结构。
由上面对循环群的描述，循环群可以用集合的形式表示为：<\(a\)>={\(a^n|n\in Z\)}
也就是说循环群中的每一个元素都可以写成a的n次幂的形式，其中a\(\in\)G，n是一个整数。
定理：由整数上的加法构成的群Z，它的每一个子群H都是循环群，并且有H=<0>或H=<\(m\)>=mZ={km|k\(\in\)Z}，其中m是H中的最小正整数。并且如果H\(\ne\)<0>，则H是无限的。
证明.
当H=<0>={0}时，由于0是整数加法群的单位元，所以H是Z的一个子群。
当H\(\ne\)<0>时，设\(a\in H,a^{-1}=-a\in H\)，所以H中存在正整数的，设H中的最小的正整数为m，不妨假设a>0，则\(\exists\)r\(\in\)Z，使得 a = qm + r，其中q\(\in\)Z，0\(\le\)r<m。
如果r$\ne\(0，则r= a - qm =a + q(-m)\)\in\(H（群的运算封闭性），这与m是H中最小的正整数的前提违背，所以r=0。而\)\forall a\in H,a=km,k\in Z$，所以H是循环群。
群的进一步性质：设G是一个群，a\(\in\)G，则
1.当<\(a\)>是无限群时，有：
i)\(a^k=e\)，当且仅当k=0
ii)元素\(a^k(k\in Z)\)两两不等
证明.
考虑加群Z到群G的映射\(f:n\mapsto a^n\)，不难证明 f 是同态。
则由同态分解定理可得：\(Z/ker(f)\cong f(Z)=<\)a\(>\)
而由前面的定理可知，ker(f)作为Z的子群要么是<0>要么是=mZ。
\(\because\)< \(a\)>是无限的
\(\therefore\)ker(f)=<0>，并且< \(a\)>与Z/ker(f)是一对一的关系
2.当<\(a\)>是有限群时，设ord(a)=m，此时有：
i)m是使得\(a^m=e\)的最小正整数
ii)\(a^k=e\)，当且仅当 m | k
iii)\(a^r=a^k\)，当且仅当r\(\equiv\)k(mod m)
iv)元素\(a^k(k\in Z/mZ)\)两两不等
v)<\(a\)>={\(a,a^2,\cdots,a^{m-1},a^m=e\)}
vi)对任意整数1\(\le\)d\(\le\)m，有\(ord(a^d)=\frac{m}{(d,m)}\)
证明.
同样的，构造映射\(f:n\mapsto a^n\)，则\(Z/ker(f)\cong f(Z)=<\)a\(>\)
而这里<\(a\)>是有限的，并且ord(a)=m
所以m是使得\(a^m=e\)的最小正整数
而\(a^k=e\)等价于\(k\in ker(f)\)，等价于k | m，相似的，\(a^r=a^k\)等价于>\(r-k\in ker(f)\)，等价于r\(\equiv\)k(mod m)
因为Z/ker(f)与<\(a\)>是一一对应的，所以\(a^k(k\in Z/mZ)\)两两不等
最后一个性质：
对于群\(<a^d>\)，\((a^d)^k=e\)等价于\(dk\in ker(f)\)，等价于m|dk，等价于\(\frac{m}{(d,m)} | \frac{d}{(d,m)}k\)，显然\(\frac{m}{(d,m)}\)与\(\frac{d}{(d,m)}互素\)，所以由此可以得到\(\frac{m}{(d,m)}|k\)
因此\(ord(a^d)=\frac{m}{(d,m)}\)
循环群的性质：设G是一个循环群.
i)如果G是无限的，则G的生成元为\(a\)或\(a^{-1}\).
ii)如果G是有限阶m，则\(a^k\)是G的生成元当且仅当(k,m)=1.
定理：每个无限循环群同构于加群Z，每个阶为m的有限群同构于加群Z/mZ.
这个定理同样可以通过前面构造从整数加群到循环群G的同构映射而得到证明。
置换群
定义：设S={1,2,...,n}，称S到其自身的映射σ是一个置换，如果σ是双射，即
\(\sigma:S\rightarrow S\) (\(k\mapsto i_k\))
通常将 n 元置换σ写成\((\begin{matrix} 1&2&\cdots&n \\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n) \end{matrix})\)
置换的乘法：设\(\sigma\)和\(\sigma'\)是S上的两个置换，则它们的乘积\(\sigma\sigma'\)也是S上的一个置换，且\((\sigma\sigma')(i)=\sigma(\sigma'(i))\)
如果把置换看作S到自身的函数，则置换乘法就是函数复合运算。
例：令\(\sigma=(\begin{matrix} 1&2&3&4&5&6 \\ 6&5&4&2&1&3 \end{matrix})\)和\(\sigma'=(\begin{matrix} 1&2&3&4&5&6 \\ 5&6&4&2&3&1 \end{matrix})\)是S={1, 2, 3, 4, 5, 6}上的置换，则\(\sigma\sigma'=(\begin{matrix} 1&2&3&4&5&6 \\ 1&3&2&5&4&6 \end{matrix})\)
即先做\(\sigma'\)的置换，再做\(\sigma\)的置换
置换的逆变换：设\(\sigma=(\begin{matrix} 1&2&\cdots&n \\ \sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n) \end{matrix})\)，则其逆变换为\(\sigma^{-1}=(\begin{matrix} \sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n) \\ 1&2&\cdots&n \end{matrix})\)
置换群：n元置换全体组成的集合\(S_n\)关于置换乘法构成一个群，其阶为\(n!\).
轮换：设σ是一个n元置换，如果存在I={\(i_1,i_2,\ldots,i_n\)}\(\subset\){1,2,...,n}，使得\(\sigma(i_j)=i_{j+1},\sigma(i_k)=i_1\)，其中j=1,2,..,k-1，并且对任意\(j\in\){1,2,...,n}\I，都有\(\sigma(j)=j\)，那么称σ是一个k-轮换，记作(\(i_1,i_2,...,i_k\))。
定理：任意置换都可以表示成为不相交的轮换的乘积，且在不考虑乘法顺序的情况下，该表示是唯一的。
例：令\(\sigma=(\begin{matrix} 1&2&3&4&5&6 \\ 6&5&1&2&4& 3 \end{matrix})\)是S={1, 2, 3, 4, 5, 6}上的一个置换，则σ可以表示为两个轮换的乘积，即
\((\begin{matrix} 1&2&3&4&5&6 \\ 6&5&1&2&4& 3 \end{matrix})=(1,6,3)(2,5,4)\)
轮换的乘积例题
求：(1, 3)(1, 2)
解：设\(\sigma_1=(1, 3), \sigma_2=(1,2)\)
(1, 3)(1, 2) = \(\sigma_1 \sigma_2\)
\(\sigma_1\sigma_2(1)=\sigma_1(\sigma_2(1))=\sigma_1(2)=2\)
\(\sigma_1\sigma_2(2)=\sigma_1(\sigma_2(2))=\sigma_1(1)=3\)
\(\sigma_1\sigma_2(3)=\sigma_1(\sigma_2(3))=\sigma_1(3)=1\)
所以(1, 3)(1, 2) = \((\begin{matrix} 1&3 \\ 3&1 \end{matrix})(\begin{matrix} 1&2\\ 2&1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1&2&3 \\ 2&3&1 \end{matrix})\) = (1, 2, 3)