唯一可分解星座对（UFCP）

#UFCP学习笔记
#引入
通过对相移键控(PSK)星座进行细致的分解，提出了一种新的唯一分解星座(UFCP)。基于这种独特的分解，针对由两个单天线终端和一个中继器组成的具有两个天线的单向中继网络，提出了一种新的分布式级联Alamti码。这种设计允许中继器在将其接收到的源信息转发到目的地的同时传输其自己的信息。通过两次使用Alamti编码方案并在中继节点联合处理来自两个天线的信号，这种编码设计还使得源和目的地之间的等效信道是两个Alamti信道的乘积，因此被称为分布式级联Alamti空时分组码(STBC)。此外，还推导了采用最大似然(ML)检测器的渐近符号差错概率(SEP)公式，结果表明系统获得了最优的分集增益函数，且与ln(SNR/SNR^2)成正比。
协作分集是一种很有前途的技术，可以用来提高无线通信系统的覆盖范围和可靠性。通过共享天线的使用，小区内移动用户通过分布式传输和信号处理创建虚拟阵列。由于该布置形成分布式MIMO系统，因此用于MIMO系统的分集技术自然被扩展到用于设计所谓的分布式STBC的这种中继网络。当前可用的具有分布式STBC的中继网络允许中继器将其从源节点接收到的任何信息转发到目的地，并且不允许其发送自己的信息。然而，在实际的通信过程中，经常需要允许中继节点向终端节点发送信息，例如传输信道状态信息(CSI)或控制序列。通常，该任务可以通过向其分配例如时隙或频带的正交子信道来完成，该正交子信道大致在分组级别上操作。然而，在某些严格约束的时滞系统下，这可能是有问题的。因此，在本文中，我们考虑了一个由两个单天线终端和一个具有两个天线的中继器组成的单向中继网络。对于这样的系统，我们的设计目标是通过使用PSK星座和Alamti编码方案，允许信源和中继器在符号级别同时传输信息。为此，本文的主要思想是利用最近在[18，19]中提出的唯一可分解星座对(UFCP)的概念，在2R元PSK星座的基础上发展出一种新的UFCP。这里需要指出的是，这种独特的因式分解与互质PSK星座的因式分解密切相关，互素PSK星座最初是在[20-22]中为设计全分集非相干STBC而提出的。我们的代码设计也与[23，24]中的代码设计密切相关.

# 使用PSK星座构建UFCP
我们首先提出从 PSK 星座生成的 UFCP 的概念。然后，我们表明可以通过对 2^r-PSK 星座进行因式分解然后求解特定的丢番图方程来适当且唯一地获得这种因式分解。
## 从 PSK 星座生成的 UFCP
给定星座X和Y，x，x ̃∈X和y，y ̃∈Y，只有当x=x ̃，y=y ̃时才有xy=x ̃y ̃成立，则星座X和Y被称为唯一可分解星座对(UFCP)，记为X~Y。
我们注意到UFCP X和Y可以从一个给定的星座Z中产生，定义Z=X×Y，Z={z|z=xy，x∈X，y∈Y}和|Z|=|X|×|Y|。换句话说，星座Z中的每一个星座点都可以唯一地被分解为两星座点的乘积，且这两星座点分别属于星座X和星座Y。

对于上述唯一可分解星座对有如下通式

如果和为PSK星座且满足：

其中 ,那么这样的一对和就构成UFCP。

证明：不妨设 , , , ，其中，。由PSK星座的特性可知，等价于或

由于，我们可以得到，又因为 , ,所以我们有。由于，的取值范围限定，所以我们由上式可以得到：

等式两边同时除以可得

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上式也可写为 , 又由于m，m 的取值范围限定0≤m,m≤2p-1 ，我们可以立马得到m=m ，因此x=x，y=y成立，这样的一对星座X 和Y 组成一个唯一可分解星座对(UFCP)。

我们注意到UFCP的 X和Y可以从一个给定的星座Z中产生，定义Z=X×Y，Z={ z|z=xy，x∈X，y∈Y}和|Z|=|X|×|Y|。换句话说，星座Z中的每一个星座点都可以唯一地被分解为两星座点的乘积，且这两星座点分别属于星座X和星座Y。本文方案的目标是能够选取一个合适的星座点Z进行分解得到一个可分解星座对X和Y，根据现有研究，本方案提出以下一种通用的PSK星座分解方案。