考研 | 组成原理【第二章】数据的表示和运算

文章目录

考研 | 组成原理【第二章】数据的表示和运算
I. 数制与编码
II. 运算方法和运算电路
III. 浮点数的表示与运算
- a. 浮点数的表示
- b. 浮点数的加减运算

I. 数制与编码

a. 进位计数制及其相互转换

整数部份十进制转二进制: 留意高低位排序
小数部分十进制转二进制: 留意高地位排序

b. BCD码

BCD码: 就是 Binary-Coded Decimal，即二进制编码的十进制数

1. 8421码

8421码: 就是对于 0～9 每个数字用 4 位二进制数来进行一一表示；其中 8421 码也叫有权码，从左往右数，第一个 1 权值为 8 ；第二个 1 权值为 4；第三个 1 权值为 2；第四个 1 权值为 1；
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十进制	5	+	8	=	1	3
二进制	0101	+	1000	=	0001	0011

2. 余3码

余3码: 属于无权码，它是在 8421码的基础上，每位加 $3)_{10}$ ，即二进制 $0011)_2$
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3. 2421码

2421码: 同 8421码，都属于有权码，但是与 8421码不同，从右往左数，每个 1 的权值分别为 2421
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c. 无符号整数表示和运算

1. 表示

在这里插入图片描述

全部二进制位都是数值位, 没有符号位, 第 $i$ 位的位权是 $2^{i-1}$
$n$ bit无符号整数表示范围 $0\sim2^{n}-1$ , 超出则溢出
最小数是全 0; 最大数是全 1

2. 运算

加法: 从最低位开始, 按位相加, 并往更高位进位
减法:
1. “被减数” 不变, “减数” 全部位按位取反, 末位+1(即变补码), 减法变加法
2. 从最低位开始, 按位相加, 并往更高位进位.

d. 带符号整数的表示和运算

1. 原码

对于 $n + 1$ 位机器字长:

最高位为符号位, “0/1” 对应 “正负”; 剩余位数为数值位, 表示真值的绝对值
表示范围 $-(2^n-1) \leq x \leq 2^n-1$
真值 0 有两种形式, $0]_原=0,00000000; [-0]_原=1,00000000$

缺点: 符号位不能参与运算, 需要设计复杂的硬件电路才能处理
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2. 反码

在原码的基础上: 正数不变; 负数符号位不变数值位取反
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3. 补码

机器的方式: 原 → 反 → 补 (反码转补码: 正数不变, 负数末位+1)
人工手算的方式: 原 → 补
正数不变; 负数从右往左找到第一个1,这个1左边的所有数值位按位取反;
补码转原码也是这种方式, 正数不变, 负数从右往左找到第一个 1, 这个 1 左边的所有数值位按位取反
这里记录一个我自己总结的直接从负数补码算真值的方法:
见上图右下角蓝色部分
1. 从右往左找到第一个1
2. 这个 1 左边的所有 0 对应的二进制权值 + 这个 1 对应的二进制权值 = 真值
补码加法: 从最低位开始, 按位相加(包括符号位), 并往更高位进位
补码减法:
1. “被减数” 不变, “减数” 全部按位取反(包括符号位)末位+1
2. 减法变加法, 从最低位开始, 按位相加, 并往更高位进位

4. 移码

移码: 在补码的基础上, 符号位取反; 注意: 只能表示正数
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5. 原反补移码特性对比

转换关系:
表示范围:
用几种码来表示整数:

e. 定点小数的表示和运算

1. 定点小数 v.s. 定点整数

注意: 定点小数第一位是符号位, 即小数点前一位; 定点小数不能用移码表示
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2. 定点小数的加法运算

同定点整数加法: 从最低位开始, 按位相加(包括符号位), 并往更高位进位;
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3. 定点小数的减法运算

同定点整数减法: "被减数"不变, 全部位按位取反, 末位+1, 减法变加法
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II. 运算方法和运算电路

a. 基本运算部件

1. 逻辑运算

与 | 或 | 非
与非 | 或非 | 异非 | 同或
用与或非组合实现异或门
简化逻辑表达式
- 优先级: 与 > 或
- 分配律: $A (C + D) = A C + A D$
- 结合律: $A B C = A (B C)$ ; $A + B + C = A + (B + C)$
- 反演律: $\overline{A+B}=\overline{A}\cdot\overline{B}$ ; $\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$

2. 一位全加器

一位全加器实现的功能是一个二进制位上的加法, 不仅要结合当前两个加数的二进制位, 还要结合从前一个二进制位带上来的进位.

加法结果 $S_i$ : 看输入(两个加数的二进制位, 前一位的进位) 中有偶数个 1 还是奇数个 1
$S_i = A_i \oplus B_i \oplus C_{i-1}$
向高位的进位 $C_i$ : 如果输入中至少有两个 1, 进位就是 1
$C_i = A_iB_i+(A_i\oplus B_i)C_{i-1}$
第一项代表的是两个加数的二进制位都是1
第二项代表两个本位中只有一个 1 , 且来自低位的进位是 1

用逻辑电路图表示:

3. 串行加法器

串行加法器: 只由一个一位全加器构成, 两个加数按位一个一个二进制位送入全加器里面进行运算, 这种就是串行. 如果操作数长 $n$ 位, 加法器就要进行 $n$ 次运算.

4. 串行进位的并行加法器

串行进位的并行加法器: 把 $n$ 个全加器串连起来, 就可以得到两个 $n$ 位二进制数相加的结果
在这里插入图片描述
从图中看得出来, 缺点很明显, 由于每一级的输入除了两个加数自身的二进制数以外, 还要包括上一位的进位, 因此每一级的加法都得依赖上一级.

5. 并行进位的并行加法器

并行进位的并行加法器其实就是在串行的基础上耍了一些trick. 前面提到, 由于受限于每一级的进位 $C_{i-1}$ , 因此我们对 $C_{i}$ 进行展开:
$\begin{aligned} &C_{i}=A_{i} B_{i}+\left(A_{i} \oplus B_{i}\right) C_{i-1} \\ &C_{i}=A_{i} B_{i}+\left(A_{i} \oplus B_{i}\right)\left(A_{i-1} B_{i-1}+\left(A_{i-1} \oplus B_{i-1}\right) C_{i-2}\right) \\ &C_{i}=A_{i} B_{i}+\left(A_{i} \oplus B_{i}\right)\left(A_{i-1} B_{i-1}+\left(A_{i-1} \oplus B_{i-1}\right)\left(A_{i-2} B_{i-2}+\left(A_{i-2} \oplus B_{i-2}\right) C_{i-3}\right)\right) \end{aligned}$
当展开到 $C_0$ 的时候, 整体的 $C_i$ 就可以直接确定, 因为每一位的 $A_i$ $B_i$ 都已经, $C_i$ 也已知, 那么就可以直接算得任意一步的进位 $C_i$
我们再让 $G_i=A_iB_i$ $P_i=A_i\oplus B_i$
$\begin{aligned} &C_{i}=A_{i} B_{i}+\left(A_{i} \oplus B_{i}\right) C_{i-1}=G_{i}+P_{i} C_{i-1} \\ &C_{1}=G_{1}+P_{1} C_{0} \\ &C_{2}=G_{2}+P_{2} C_{1}=G_{2}+P_{2} G_{1}+P_{2} P_{1} C_{0} \\ &C_{3}=G_{3}+P_{3} C_{2}=G_{3}+P_{3} G_{2}+P_{3} P_{2} G_{1}+P_{3} P_{2} P_{1} C_{0} \\ &C_{4}=G_{4}+P_{4} C_{3}=G_{4}+P_{4} G_{3}+P_{4} P_{3} G_{2}+P_{4} P_{3} P_{2} G_{1}+P_{4} P_{3} P_{2} P_{1} C_{0} \end{aligned}$
画成电路图:
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6. 补码加减法器

XY分别对应两个加数或者被减数和减数
设置 $s u b$ , 如果是减法就设置为 1, 如果是加法设置为 0
当 $s u b$ 为0, 即加法的时候, Y 直接通过多路选择器进入加法器
当 $s u b$ 为1:
1. Y 会先经过非门, 对Y上的所有位进行按位取反
2. 同时, $s u b$ 作为 1, 也会作为 $C_{i-1}$ 传进加法器中
3. 对 Y 所有位按位取反再 +1, 即可完成 X-Y 到 X+(-Y) 的操作

7. 标志位生成

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b. 定点数的移位运算

1. 算数移位

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2. 逻辑移位

逻辑右移: 高位补0, 低位舍弃
逻辑左移: 低位补0, 高位舍弃

3. 循环移位

在这里插入图片描述

c. 定点小数的乘法运算

1. 原码乘法运算

符号位单独处理, 符号位 $=x_s\oplus y_s$
数值位取绝对值进行乘法运算:

先回顾几个运算器的构件:
我们现在要计算: $[x]_原=1.1101, [y]_原=0.1011, x\cdot y$
先将被乘数, 即 x, 符号位变成 0, 取绝对值, 放进通用寄存器 $X$ 中
乘数, 即 y, 符号位也同样取 0, 取绝对值, 放进乘商寄存器 $M Q$ 中
累加器 $A C C$ 全置 0;
从右往左看乘商寄存器 $M Q$ , 第一个是 $1$
那么我们就往累加器 $A C C$ 里加上通用寄存器 $X$ 里的被乘数 $X$
然后累加器 $A C C$ 和乘商寄存器 $M Q$ 一起逻辑右移: 高位补 $0$ , 低位舍弃
然后重复第四步, 还是 $1$ , 于是我们对累加器 $A C C$ 先加通用寄存器 $X$ 里的被乘数, 然后 $A C C$ 和 $M Q$ 一起逻辑右移:
继续重复第四步, 但是这一次是 $0$ , 如果遇到 $0$ , 累加器 $A C C$ 就什么都不加, 直接和乘商寄存器 $M Q$ 逻辑右移
一直重复第四步, 直到原本放乘数的乘商寄存器 $M Q$ 里的符号位移到最后一个位, 就可以停止了
这个时候, 还需要把累加器 $A C C$ 的第一位, 即符号位修改为一开始的符号位 $=x_s\oplus y_s$
然后累加器 $A C C$ 和乘商寄存器 $M Q$ 组合起来的数字就是最终乘积的结果
将上述过程简化成手算过程就是这样:

2. 补码乘法运算

补码乘法和原码乘法类似, 但也有不同:
在补码乘法的运算中:
- 所有寄存器的机器字长统一 $n + 2$ 位, 采用双符号位表示补码.
- 乘商寄存器 $M Q$ 中, 用单符号位表示乘数补码, 最后一位机器位放辅助位, 初始为0
- 辅助位 - $M Q$ 中最低位 = 1, $ACC)+[x]_补$
  辅助位 - $M Q$ 中最低位 = 0, $(A C C) + 0$
  辅助位 - $M Q$ 中最低位 = -1, $ACC)+[-x]_补$
- 加法结束后, $A C C$ 和 $M Q$ 一起算数右移
- 一直右移到原来放在乘商寄存器 $M Q$ 的乘数的符号位后, 还得继续进行一次加法
- 最后累加器 $A C C$ 和乘商寄存器 $M Q$ 共同构成最后的乘积(带符号位)

d. 定点小数的除法运算

1. 原码除法运算

1-1. 恢复余数法

通用寄存器 $X$ 存放除数
累加器 $A C C$ 存放被除数
乘商寄存器 $M Q$ 存放结果商
符号位单独处理 $x_s \oplus y_s$
将对应除数, 被除数放入通用寄存器 $X$ , 累加器 $A C C$ 中, 乘商寄存器 $M Q$ 置0

每轮直接无脑上商 $1$
求余数: $(ACC)-(除数)\rightarrow ACC$
发现 $A C C$ 中, 余数为负数, 商改为 $0$
商改为 $0$ 后, $A C C$ 也应该改回来, 所以 $(ACC)+(除数)\rightarrow ACC$ , 这一步就叫恢复余数
然后 $A C C$ 和 $M Q$ 总体逻辑左移
重复 1~5 步, 直至乘商寄存器 $M Q$ 中所有机器位的都有确定的商
最后得到结果
总结: 看流程图

1-2. 加减交替法(不恢复余数法)

核心思想:
总体流程:

2. 补码除法运算

精髓:

有一道经典的题:

这道题如果不深究, 可以直接选 $B$ , 应为补码的乘除法, 重点的一步就是符号位参与运算

如果深究的话:

什么叫够减: 被减数的绝对值大于减数绝对值

同号相除:

求余数	够减	商	不够减	商
减法	除数和余数同号	1	除数和余数异号	0

异号相处:

求余数	够减	商	不够减	商
加法	除数和余数异号	0	除数和余数同号	1

如: 被除数 -3, 除数 -2 和 +2, 够减
- $\Rightarrow -3 - (-2) = -1 \Rightarrow 余数和除数同号 \Rightarrow 商1$
- $\Rightarrow -3+(+2)=-1 \Rightarrow 余数和除数异号 \Rightarrow 商0$