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数学原理
高斯消元法求行列式：利用初等行变换，化为上三角行列式，求其主对角线的乘积
行列式的初等行变换：
1）换行变换：交换两行（行列式需变号）
2）倍法变换：将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k（行列式需乘K倍）
3）消法变换：把行列式的某一行（列）的所有元素乘以一个数k并加到另一行（列）的对应元素上（行列式不变）
上述三种变化中，本章将会用到换行变换与消法变换。
例如：
行列式A为：
化为上三角行列式（选主元）：
A经过选主元与高斯消去后，化为上三角行列式（选主元见下文）
行列式是值为：
det（A）=1 * 1 * 2 * 6 = 12
选择主元
主元就是在矩阵消去过程中，每列的要保留的非零元素，用它可以把该列其他消去。在阶梯型矩阵中，主元就是每个非零行第一个非零元素就是主元。
高斯消去法在消元过程中可能出现零主元，即，这时消元过程将无法进行；也可能主元绝对值非常小，用它做除法将会导致舍入误差的扩散，使数值解不可靠。解决该问题的办法是避免使用绝对值过小的元素作主元。
选择主元的方法：
1）找到主对角线以下每列最大的数Max所在的行数k
2）利用初等行变换——换行变换，将k行与当前主元行互换（记录总共换行次数n）
3）以当前主元行为基，利用初等行变换——消法变换，将主对角线下方消0
4）行列式每次换行需变号，行列式最后的符号为
5）每次进行高斯消去前都必须选择主元，计算n维的行列式，则需要进行n-1次主元选择
程序设计
整体流程与代码
1）判断传入指针是否为空
2）判断矩阵维数，判断是否为方阵
3）为临时矩阵开辟空间
4）将原矩阵数据拷贝到临时矩阵中（保护原矩阵）
5）选择主元：利用初等行变换，找出每列绝对值最大的数，与主元行互换（1.提高一定的精度 2.避免原函数主对角线有0）
6）利用初等行变换进行消0
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
double Det(double** src)
{
//step 1
//判断指针是否为空
if (src == NULL)exit(-1);
int i, j, k, row, col;
double sum, tmp,** res;
int count = 0,flag;
//判断矩阵维数
row = (double)_msize(src) / (double)sizeof(double*);
col = (double)_msize(*src) / (double)sizeof(double);
if (row != col)exit(-1);
//step 2
res = (double**)malloc(sizeof(double*) * row);
for (i = 0; i < row; i++)
{
res[i] = (double*)malloc(sizeof(double) * row);
memset(res[i], 0, sizeof(res[0][0]) * row);//初始化
}
//step 3
//进行数据拷贝
for (i = 0; i < row; i++)
{
memcpy(res[i], src[i], sizeof(res[0][0]) * row);
}
//step 4
//找主元，绝对值最大的那一行，与主元行互换
for (j = 0; j < col; j++)
{
flag = j;
double Max = fabs(res[flag][j]);//用绝对值比较
//默认当前主元行的数最大,从主对角线下方选择主元
for (i = j; i < row; i++)
{
if (fabs(res[i][j]) > Max)
{
flag = i;
Max = fabs(res[i][j]);
}
}
if (i == j && i != flag)
{
count++;//记录互换次数
for (k = 0; k < col; k++)
{
tmp = res[flag][k];
res[flag][k] = res[i][k];
res[i][k] = tmp;
}
}
//将主对角下方元素消成0
for (i = j + 1; i < row; i++)
{
double b = res[i][j] / res[j][j];
for (k = 0; k < col; k++)
{
res[i][k] += b * res[j][k] * (-1);//初等行变换
}
}
}
//计算主对角线元素乘积
sum = 1;
for (i = 0; i < row; i++)
{
for (j = 0; j < col; j++)
{
if (i == j)
sum *= res[i][j];
}
}
//必须释放res内存！
free(res);
return pow(-1,count)*sum;
}上述代码中：
- malloc函数在动态内存规划一文中有详细讲解
- 判断矩阵维数在C语言判断矩阵维数中有详细讲解
- 行列式必须是方阵，因此row和col是相等的，代码中row对应行操作，col对应列操作
- 因为高斯消元法是化为上三角行列式，所以每次消元时，起始的行数i=j+1，上三角部分不用消0
- 最后只需要返回三角行列式主对角元素的乘积即可，在函数末尾需要释放内存
测试函数
为了方便测试，创建三个测试函数
创建矩阵函数：
double** MakeMat(int n)
{
int i = 0;
if (n <= 0)exit(-1);
double** res = (double**)malloc(sizeof(double*) * n);
if (res == NULL)exit(-1);
for (i = 0; i < n; i++)
{
res[i] = (double*)malloc(sizeof(double) * n);
}
return res;
}初始化函数：
void InitMat(double** src)
{
if (src == NULL)exit(-1);
int i, j, n;
n = (double)_msize(src) / (double)sizeof(double*);
for (i = 0; i < n; i++)
{
for (j = 0; j < n; j++)
{
src[i][j] = pow(i, j);
}
}
}初始化为i的j次方
打印函数：
void print(double** src)
{
if (src == NULL)exit(-1);
putchar('\n');
int i, j, row, col;
row = (double)_msize(src) / (double)sizeof(double*);
col = (double)_msize(*src) / (double)sizeof(double);
for (i = 0; i < row; i++)
{
for (j = 0; j < col; j++)
{
printf("%9.4lf", src[i][j]);
}
putchar('\n');
}
}测试结果
int main()
{
int n = 4;
double** arr = MakeMat(n);
InitMat(arr);
printf("原行列式:>");
print(arr);
printf("上三角行列式:>");
double res = Det(arr);
printf("计算结果:>");
printf("%lf\n", res);
return 0;
}这里没有返回上三角行列式，只是在函数最后加了一个打印，对其进行观察
