一、如何构建一个BP神经网络

本节讲解如何构建一个BP神经网络

1.1 问题阐述

现有数据如下

$x_1,x_2$ 为输入， $\text{y}$ 为对应的输出，
现需要训练一个BP神经网络，用 $x_1,x_2$ 预测 $\text{y}$

1.2 BP神经网络模型简介与实现

BP神经网络是指构建以下的模型来对数据进行预测

它的数学表达式如下

对于上述模型，隐层的节点个数(即tansig的个数)需要我们自行设置，
tansig是BP默认的常用函数，我们也可以换成其它函数，
在设置好隐节点个数后，我们使用软件对模型里的w、b进行求解就可以
一般都是使用matlab进行求解，效果会相对python较好些
matlab代码如下

% 数据生成
x1 = [-3,-2.7,-2.4,-2.1,-1.8,-1.5,-1.2,-0.9,-0.6,-0.3,0,0.3,0.6,0.9,1.2,1.5,1.8];   % x1：x1 = -3:0.3:2;
x2 = [-2,-1.8,-1.6,-1.4,-1.2,-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,-2.2204,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2]; % x2：x2 = -2:0.2:1.2;
y  = [0.6589,0.2206,-0.1635,-0.4712,-0.6858,-0.7975,-0.8040,...
          -0.7113,-0.5326,-0.2875 ,0,0.3035,0.5966,0.8553,1.0600,1.1975,1.2618];    % y： y = sin(x1)+0.2*x2.*x2;

inputData  = [x1;x2];                       % 将x1,x2作为输入数据
outputData = y;                             % 将y作为输出数据
setdemorandstream(88888);                   % 指定随机种子，这样每次训练出来的网络都一样

%使用用输入输出数据(inputData、outputData)建立网络
%隐节点个数设为3.其中隐层、输出层的传递函数分别为tansig和purelin，使用trainlm方法训练
net = newff(inputData,outputData,3,{'tansig','purelin'},'trainlm');

%设置一些常用参数,然后训练网络
net.trainparam.goal = 0.0001;               % 训练目标：均方误差低于0.0001
net.trainparam.show = 400;                  % 每训练400次展示一次结果
net.trainparam.epochs = 15000;              % 最大训练次数：15000.
[net,tr] = train(net,inputData,outputData); % 调用matlab神经网络工具箱自带的train函数训练网络

% 查看网络的预测结果
simout = sim(net,inputData);                % 调用matlab神经网络工具箱自带的sim函数得到网络的预测值
figure;                                     % 新建画图窗口窗口
t=1:length(simout);
plot(t,y,t,simout,'r')                      % 画图，对比原来的y和网络预测的y

运行代码后得到训练数据的拟合效果图如下

可以看到，对于训练数据，网络的预测与原始数据基本一致

二、如何使用BP神经网络

本节讲解如何使用训练好的BP神经网络进行预测

2.1 如何使用训练好的BP神经网络进行预测

在训练好网络后，就可以使用网络对新样本进行预测
如果想知道 x1=0.5, x2=0.5时的值，
可输入如下代码
x    =[0.5;0.5];          
simy = sim(net,x)     
命令窗口输出如下

这样，就得到了输入为 [0.5,0.5] 时，y的预测值
上面所说的是使用软件包的预测函数sim来进行预测
而事实上，BP神经网络就是上述的数学表达式，
我们也可以提取出模型里的w、b,代入公式中进行预测
$\begin{aligned} \text{y}&=0.85935*\textbf{tansig}(-0.38884*x_1+1.1133*x_2+2.4104) \\ &-1.4681*\textbf{tansig}(-0.90109*x_1+0.25378*x_2+0.059689) \\ &+1.9212*\textbf{tansig}(-0.57759*x_1-0.34253*x_2-2.3064) \\ &+1.1246 \end{aligned}$
将x1=0.5,x2=0.5代入其中，即可得到

除了由计算精度极微小的差异,基本与工具箱中的预测结果一致