浮点数尾数基值大小（计算机系统结构）

文章将会结合定长浮点数据表示尾数基值大小

机器字长相同的时候，使用浮点数表示实数比用定点数表示有更大的可表示范围。不少机器都是采用如下的格式表示一个浮点数，图中的阶码部分包含了阶符和阶值两部分，值得注意的是p+1位阶码部分中影响阶值大小的实际只有p位。

数学中实数在数轴上是连续分布的。但是对于机器字长有限，浮点数只能表示出数轴上分散于正、负两个区间上的部分离散值如下图所示：

浮点数阶值的位数p主要影响两个可表示区的大小，即可以表示数的范围大小，而尾数的位数m主要影响在可表示区中能表示值得精度。由于位数有限则不可避免地会产生误差，而误差的大小就和位数m有关。

我们讨论浮点数尾数基值选择的影响，用 $r_{{m}}$ 表示浮点数的基。则 $r_{{m}}$ 进制的数位为 $\left \lceil lb r_{_{m}} \right \rceil$ 。位数的机器位数为m时，相当于 $r_{{m}}$ 进制的尾数有 $_m{'}^{}$ 个位数，其位权向右依次为 $r_{m}^{-1}$ 、 $r_{m}^{-2}$ ...、 $r_{m}^{-m'}$ 。其中m'=m/ $\left \lceil lb r_{_{m}} \right \rceil$ 。

以 $r_{{m}}$ 为尾数基值的浮点数是当其尾数右移一个 $r_{{m}}$ 进制数位时，为保持数值不变，阶码才加1。下表列出了阶值采用二进制p位，尾数采用 $r_{{m}}$ 进制m'位，在非负阶、正尾数、规格化条件下有关浮点数各种特性参数的一般格式。

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规格化正尾数，是指正尾数小数点后的第一个 $r_{{m}}$ 进制数位不是0的数。因为尾数为全0的数是机器零，不作为机器中可表示的数。所以，最小的正尾数值应当是 $r_{{m}}$ 进制尾数的小数点后的第1个 $r_{{m}}$ 进制数位为1，其他数位都是0的数值，即 $r_{m}^{-1}$ ，则最大的尾数为1- $r_{m}^{-1}$ 。

由于为非负阶，最小阶应该是阶值部分全为0，所以最小阶就是0，而最大阶就应该阶值部分全为1，所以最大阶就是 $2^{p}$ -1,阶值的值就是从0到 $2^{p}$ -1，共 $2^{p}$ 个。

按浮点数表示格式的含义，浮点数的值为：阶数值X尾数值，则可以更具上面的总结得出最大表示的数和最小的数。

浮点数尾数基值大小（计算机系统结构）

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