浮点表示（计算机系统）

定点表示法：

符号 ‘.’ 表示为二进制的点，点右边的权是2的负幂，左边是2的正幂。

小数的二进制只能表示那些能够写成x*$2^y$的数，对于那些其他数并不能准确表示，只能近似的表示。
并且不能有效表示非常大的数。（增加二进制表示长度可以增加精度）

IEEE表示：

• 符号（sign）：S决定这个数是负数（S=1）还是正数（S=0）
• 尾数（significand）：M是一个二进制小数
• 阶码（exponent）：E是对浮点数进行加权，权重为2的E次幂

浮点数的位划分：

• 一个单独的符号位S直接编码符号
• k位的阶码字段exp编码阶码E
• n位的小数字段frac编码尾数M（M是一个二进制小数）

单精度浮点格式：float（s=1，exp=8，frac=23）32位
双精度浮点格式：double（s=1，exp=11，frac=52）64位
根据exp的值，被编码的值可以分成三种情况：

1. 规格化的值：
   exp的位模式既不全为0，也不全为1。
   阶码字段：
   被解释为以偏置形式表示的有符号整数（单精度-126～127）（双精度-1022～1023）;阶码的值：E=e-Bias。
   ①e：（是无符号数）$e_{k-1}$…$e_1{e}_0$
   ②Bias：$2^{k-1}$ -1的偏置值
   小数字段：
   尾数定义为M=1+f（隐含的以1开头的表示）

2. 非规格化的值：
   阶码全0时。
   阶码字段：
   阶码值是E=1-Bias。
   小数字段：
   尾数的值是M=f 。
   ①非规格化数有效的避免了+0.0与-0.0的产生
   ②对于接近0.0的数逐渐溢出，可能的数分布均匀的接近0.0

3. 特殊的值：
   阶码全1，小数全0，得到的值表示无穷。s=0正无穷，s=1负无穷 。
   阶码全1，小数非0，结果称为“NaN”（不是一个数）。

IEEE表示方式实例一：

假定的8位浮点格式，其中有k=4(阶码位),n=3(小数位)，偏置（Bias）为$2^{4-1}$-1=7.

$e=e_{k-1}$…$e_1{e}_0$（无符号数）
E:

• 规格化：E=e-Bias
• 非规格化：E=1-Bias

$f=0.f_{n-1}$…$f_1{f}_0$（二进制值）

M:

• 规格化：M=1+f
• 非规格化：M=f

$V=(-1{)}^s\times M\times 2^E$

IEEE表示方式实例二：

整数与浮点数之间的转换方式：