机器学习西瓜书笔记：软间隔和支持向量回归SVR

1、首先由SVM问题（最大间隔超平面模型）：所有样本都可以正确分类的最优化问题，引入软间隔SVM（允许分类错误）的最优化问题，即需要添加损失函数（样本不满足约束的程度，或者说分类错误的程度），然后最优化。

• 这里强调一下：超平面这个回归模型如何实现分类功能：套上sign函数。
• 损失函数要找性质好的，即凸函数，连续
• 损失函数不要单纯只反映分类正确和错误（0/1损失函数）。而是分类正确时，损失记为0，分类错误时体现损失的程度1-z。则hinge损失函数可以实现。
• 然后用松弛变量表示损失函数的取值
• 求解拉格朗日对偶问题

2、再引入SVR，针对回归问题如何求一个间隔带回归模型，使得预测值f和真实标记y差距（即损失）最小化。

• 间隔带内允许$ϵ$的误差，都算作没有损失，即最小化的是|f-y| - $ϵ$，则引入不敏感损失函数
  SVR这个回归问题的最优化问题，形式要往软间隔SVM形式靠拢，就可以用其求解方法，比如转化为对偶问题。

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一、软间隔soft margin

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引入软间隔的概念，把SVM硬间隔问题转化为软间隔问题求解，则能够在非线性可分数据集上（即允许有样本分类错误），解出损失（样本不满足约束程度）最小的SVM超平面模型。

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1.1 为何引入软间隔

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在现实任务中，线性不可分的情形才是最常见的，退一步说，即使恰好找到了某个核函数使得训练集在特征空间中线性可分，特很难断定这个貌似线性可分的结果是否是过拟合造成的。因此需要允许支持向量机犯错，引入软间隔

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1.2 软间隔

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数学角度，软间隔就是允许部分样本（尽可能少）不满足如下的约束条件：

不满足6.28约束的几何意义：样本${\vec{x}}_i$被分类错误，到超平面的集合距离负数，也就是6.28的左边是负数，自然肯定不会>=我们规定的正确分类的正数间隔。

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1.3 损失函数$\ell$需要满足的3个特点

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把是否满足约束条件的问题转化为损失：

1、满足约束条件的样本：损失为0
2、不满足约束条件的样本：损失不为0

• 0/1损失函数满足1,2

3、（可选）损失和违反约束条件的程度成正比

• 替代损失函数，例如hinge都满足。
• SVR用的不敏感损失函数也满足这3条

满足以上要求，我们最小化损失，就相当于最小化不满足约束条件的 样本个数

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1.4 损失函数是${\ell }_{0/1}$的软间隔SVM最优化问题

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原问题为：

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${\ell }_{0/1}$损失函数：满足1,2特点

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只能判断样本是否满足约束

1. 满足约束条件的样本：损失为0
2. 不满足约束条件的样本：损失不为0
   

• $z=y_i({\vec{w}}^T\vec{x}+b)-1$
• 满足约束条件的样本:$z\ge 0$，则损失=0
• 不满足约束条件的样本:$z<0$，则损失=1

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软间隔SVM最优化问题变为

• C是>0的常数，用于调节损失函数的权重。
• 当我们允许较多样本不满足约束条件时，可以让C小一点，即损失的权重小一点。
• 反之允许较少样本不满足约束条件，就让C大一点。
• 特殊的：即硬间隔的情况，我们不允许任何样本不满足约束条件，则让$C\to +\infty$，让损失函数权重无穷大，你必须让所有样本的损失 = 0
• 因此该式子可以看成 SVM的一般形式

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1.4 替代损失（surrogate loss）函数： ℓ h i n g e = max ⁡ { 0 , 1 − z } \ell_{hinge}=\max\{0,1-z\} ℓhinge​=max{ 0,1−z}合页损失：满足特点3

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${\ell }_{0/1}$损失函数：非凸，非连续，数学性质不好

替代损失函数 一般有较好的数学性质：

• 通常是凸的连续函数
• 可以表示不满足约束的程度

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常见替代损失函数图像

软间隔SVM常用hinge（合页）损失

• ${\ell }_{hinge}\ge 0$
• 满足特点3：损失和违反约束条件的程度成正比

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则软间隔SVM最优化问题变为：

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1.5 引入松弛变量(slack variables)${\xi }_i$:样本不满足约束的程度

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对松弛变量的2个约束

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令${\xi }_i={\ell }_{hinge}(z)=max(0,1-y_i({\vec{w}}^T{\vec{x}}_i)+b)$

约束1：${\xi }_i\ge 0$

约束2：$y_i({\vec{w}}^T{\vec{x}}_i)+b\ge 1-{\xi }_i$

• $1-y_i({\vec{w}}^T{\vec{x}}_i)+b)\ge 0$时，${\xi }_i=1-y_i({\vec{w}}^T{\vec{x}}_i)+b$
• $1-y_i({\vec{w}}^T{\vec{x}}_i)+b)<0$时，${\xi }_i=0>1-y_i({\vec{w}}^T{\vec{x}}_i)+b$
• 因此${\xi }_i\ge 1-y_i({\vec{w}}^T{\vec{x}}_i)+b$，即$y_i({\vec{w}}^T{\vec{x}}_i)+b\ge 1-{\xi }_i$

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软间隔SVM最优化问题变为

• m个样本各对应一个松弛变量，表示样本不满足原问题约束$y_i({\vec{w}}^T\vec{x}+b)\ge 1$的程度
• 与原问题6.6一样，仍然是二次规划问题

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1.6 软间隔SVM问题 转化为对偶问题

具体如何转化为对偶问题求最优解详情见SVM笔记

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1、写出拉格朗日函数：

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2、求对偶函数$\inf L$，即求L的最小值，L是凸优化问题，求偏导=0

带入6.37~6.39得对偶函数：

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3、得到软间隔下SVM问题的对偶问题：

• 两个拉格朗日乘子都>=0构成约束：$0\le {\alpha }_i\le C$
• 硬间隔SVM问题的不等式约束只有1个，没有对松弛变量${\xi }_i$的约束，则其拉格朗日问题自然少参数，约束只有${\alpha }_i\ge 0$

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KKT条件

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依然参见SVM笔记

规则是：

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1.7 求解对偶问题6.40（暂时不讲）

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和硬间隔中求解方法一样，暂时不讲。

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二、支持向量回归SVR(support vector regression)

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2.1 背景

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这里的总结个人感觉比SVM部分清晰点了。

SVM讨论的是分类问题，希望学得一个能实现分类的，最大间隔的超平面模型$f(\vec{x})={\vec{w}}^T\vec{x}+b$：

• 实现分类：回归模型${\vec{w}}^T\vec{x}+b$套上sign函数实现分类。
• 如果是软间隔SVM问题，数据集线性不可分，则最优化问题：既要最大间隔，也要样本不满足约束条件的程度（hinge损失函数）最小化。
• 如果是硬间隔SVM问题，代表数据集线性可分，不存在不满足约束条件的样本。则最优化问题只需要间隔最大化即可。

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SVR讨论的是回归问题：希望学得一个回归模型$f(\vec{x})={\vec{w}}^T\vec{x}+b$，使得预测值$f(\vec{x})$和真实标记$y$尽可能接近。

传统的回归模型：预测值$f(\vec{x})$和真实标记$y$完全相同，才算没有损失。【这里损失都是均方误差】

SVR模型：能容忍预测值$f(\vec{x})$和真实标记$y$最多$ϵ$的偏差，该偏差内，都算没有损失，预测正确。

即线性回归模型，变成带状回归模型了。

我们要尽可能使得这个间隔带 从样本的最密集地带（中心）穿过，达到拟合训练样本效果。

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2.2、SVR最优化问题：正则项+损失函数${\ell }_{ϵ}$

保证形式和SVM软间隔问题一模一样

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1、${\ell }_{ϵ}$不敏感损失函数：性质好

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${\ell }_{ϵ}$不敏感损失函数，比均方误差少个平方项。

• 不写成均方误差，是为了和软间隔SVM最优化问题形式保持一致
• 该损失函数自身性质已经很好，如图：是连续的凸函数，能表示拟合程度，不需要替代函数了

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2、正则项

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前面的$\frac{1}{2}||\vec{w}|{|}^2$不能理解为SVM中的间隔最大化了。

• 这里的 $\frac{1}{2}||\vec{w}|{|}^2$叫做$L_2$正则项，能防止过拟合；（正则化本身作用，这里暂时不讲）
• 该正则项也是为了和软间隔SVM的最优化问题形式保持一致。

和软间隔SVM的最优化问题形式保持一致，则可以引入松弛变量，通过对偶问题求解，使用核函数等等SVM可用的方法。

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2.3 引入松弛变量${\xi }_i={\ell }_{ϵ}(z)={\ell }_{ϵ}(f({\vec{x}}_i)-y_i)$

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松弛变量的2个约束条件

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${\xi }_i={\ell }_{ϵ}(z)$

约束1：${\xi }_i\ge 0$（即损失函数取值>=0）

约束2：
证明约束2：

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SVR最优化问题转化为

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两边采用不同松弛程度：${\xi }_i,\widehat{{\xi }_i}$的SVR最优化问题

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这样更合理，因为如果样本在SVR间隔带模型的上面，则：f - y必然是个负数，右边必然成立，${\xi }_i$直接令其=0，不用考虑后面求解了。

如果样本在SVR间隔带模型的下面，同理，左边不用考虑，令$\widehat{{\xi }_i}=0$。

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2.4 转化为对偶问题

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和SVM问题形式一模一样，自然求解方法也都可以用一样的

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1、主问题：

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2、拉格朗日函数：有4个不等式约束条件，需要4个拉格朗日乘子

3、求对偶函数，即求拉格朗日函数最小值：L是凸优化问题，求偏导=0即可

4、得到对偶问题

约束条件用两个拉格朗日乘子表示
一个是6.48
一个是乘子都要>=0，根据6.49,6.50 推出来

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5、上述问题要满足KKT条件

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2.5 求解对偶问题（暂不讲）

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