Chapter10.2：相平面法

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博客参考书籍：《MATLAB/Simulink与控制系统仿真》。

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2.相平面法

2.1 相平面的概念

考虑如下的二阶时不变系统：
$$\ddot{x}=f(x,\dot{x})$$
其中：$f(x,\dot{x})$是$x(t)$和$\dot{x}(t)$的线性或非线性函数；

$x(t)$和$\dot{x}(t)$称为系统运动的相变量(状态变量)，以$x(t)$为横坐标，$\dot{x}(t)$为纵坐标构成的直角坐标平面称为相平面；

相变量从初始时刻$t_0$对应的状态点$(x_0,{\dot{x}}_0)$起，随着时间$t$的推移，在相平面上运动形成的曲线称为相轨迹；

根据微分方程解的存在与唯一性定理，对于任一给定的初始条件，相平面上有一条相轨迹与之对应；多个初始条件下的运动对应多条相轨迹，形成相轨迹簇，由一簇相轨迹组成的图形称为相平面图；

相轨迹在某些特定情况下，可以通过积分法，直接由微分方程获得$\dot{x}(t)$和$x(t)$的解析关系式；
$$\ddot{x}=\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}\cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\dot{x}\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}$$
可得：
$$\dot{x}\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=f(x,\dot{x})$$

$$g(\dot{x})\mathrm{d}\dot{x}=h(x)\mathrm{d}x$$

两端积分可得：
$${\int }_{{\dot{x}}_0}^{\dot{x}}g(\dot{x})\mathrm{d}\dot{x}={\int }_{x_0}^{x}h(x)\mathrm{d}x$$
其中：$x_0、{\dot{x}}_0$为初始条件；

2.2 相轨迹绘制的等倾线法

等倾线的基本思想：先确定相轨迹的等倾线，进而绘制相轨迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹；

相轨迹微分方程：
$$\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=\frac{f(x,\dot{x})}{\dot{x}}$$
上式给出了相轨迹在相平面上任一点$(x,\dot{x})$处切线的斜率，取相轨迹切线的斜率为某一常数$\alpha$，得等倾线方程：
$$\dot{x}=\frac{f(x,\dot{x})}{\alpha }$$
使用等倾线法绘制相轨迹应注意的几点：

• 坐标轴$x$和$\dot{x}$应选用相同的比例尺，以便于根据等倾线斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹切线；
• 在相平面的上半平面，由于$\dot{x}>0$，则$x$随$t$增大而增加，相轨迹的走向是由左向右；在相平面的下半平面，由于$\dot{x}<0$，则$x$随$t$增大而减小，相轨迹的走向应由右向左；
• 除系统的平衡点外，相轨迹与$x$轴的相交点处切线斜率$\alpha =\frac{f(x,\dot{x})}{\dot{x}}$应为$+\infty$或$-\infty$，即相轨迹与$x$轴垂直相交；
• 一般地，等倾线分布越密，所作的相轨迹越准确，等倾线法主要用来分析相轨迹的形状和走向；

2.3 线性系统的相轨迹

1. 线性一阶系统的相轨迹

   描述线性一阶系统自由运动的微分方程为：
   $$T\dot{c}+c=0$$
   相轨迹方程为：
   $$\dot{c}=-\frac{1}{T}c$$
   设系统初始条件为：$c(0)=c_0$，则$\dot{c}(0)={\dot{c}}_0=-\frac{1}{T}{c}_0$，相轨迹如下图所示：

   

   相轨迹位于原点，斜率为$-\frac{1}{T}$的直线上；当$T>0$时，相轨迹沿该直线收敛于原点；当$T<0$时，相轨迹沿该直线发散至无穷；

2. 线性二阶系统的相轨迹

   描述线性二阶系统自由运动的微分方程为：
   $$\ddot{c}+a\dot{c}+bc=0$$
   当$b>0$时，微分方程可表示为：
   $$\ddot{c}+2\zeta {\omega }_n\dot{c}+{\omega }_n^{2}c=0$$
   线性二阶系统的特征根为：
   $$s_{1,2}=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2}$$
   相轨迹微分方程为：
   $$\frac{\mathrm{d}\dot{c}}{\mathrm{d}c}=\frac{-a\dot{c}-bc}{\dot{c}}$$
   令$\frac{-a\dot{c}-bc}{\dot{c}}=\alpha$，可得等倾线方程：
   $$\dot{c}(t)=-\frac{bc(t)}{\alpha +a}=kc(t)$$
   其中：$k$为等倾线斜率；

   当$a^2-4b>0$，且$b\ne 0$时，可得满足$k=\alpha$的两条特殊的等倾线，其斜率为：
   $$k_{1,2}={\alpha }_{1,2}=s_{1,2}=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2}=-\zeta {\omega }_n\pm {\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}$$
   上式表明，特殊的等倾线的斜率等于位于该等倾线上相轨迹任一点的切线斜率，即当相轨迹运动至特殊的等倾线上时，将沿着等倾线收敛或发散，而不可能脱离该等倾线；

   关于$b<0,b=0,b>0$的简单讨论：

   1. $b<0$

      系统特征根为：
      $$s_1=\frac{-a+\sqrt{a^2+4|b|}}{2}>0,s_2=\frac{-a-\sqrt{a^2+4|b|}}{2}<0$$
      $s_1,s_2$为两个符号相反的互异实根；

      $b<0$时，线性二阶系统的运动是不稳定的；

   2. $b=0$

      系统特征根为：
      $$s_1=0,s_2=-a$$
      相轨迹微分方程为：
      $$\frac{\mathrm{d}\dot{c}}{\mathrm{d}c}=-a$$
      积分法可得相轨迹方程：
      $$\dot{c}(t)-{\dot{c}}_0=-a(c(t)-c_0)$$
      相轨迹为过初始点$(c_0,{\dot{c}}_0)$，斜率为$-a$的直线，当$a>0$时，相轨迹收敛并最终停止在$c$轴上，当$a<0$时，相轨迹发散至无穷；

   3. $b>0$

      取$\zeta =\frac{a}{2\sqrt{b}}$：

      ① $0<\zeta <1$，系统特征根为一对具有负实部的共轭复根，相轨迹为向心螺旋线，最终趋于原点；

      ② $\zeta >1$，系统特征根为两个互异负实根：$s_1=-\zeta {\omega }_n+{\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1},s_2=-\zeta {\omega }_n-{\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}$；

      ③ $\zeta =1$，系统特征根为两个相等的负实根；

      ④ $\zeta =0$，系统特征根为一对纯虚根$s_{1,2}=\pm \mathrm{j}{\omega }_n$，系统自由运动为等幅正弦振荡；

      ⑤ $-1<\zeta <0$，系统特征根为一对具有正实部的共轭复根，系统自由运动呈发散振荡形式；

      ⑥ $\zeta \le -1$，$\zeta <-1$时系统特征根为两个正实根,$s_1=|\zeta |{\omega }_n+{\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1},s_2=|\zeta |{\omega }_n-{\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}$;系统自由运动呈非振荡发散；$\zeta =-1$时，系统特征根为两个相同的正实根，存在一条特殊的等倾线，系统相轨迹发散；

2.4 奇点和奇线

1. 奇点

   以微分方程$\ddot{x}=f(x,\dot{x})$表示的二阶系统，其相轨迹上每一点切线的斜率为$\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=\frac{f(x,\dot{x})}{\dot{x}}$，若在某点处$f(x,\dot{x})$和$\dot{x}$同时为零，即有：$\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=\frac{0}{0}$的不定形式，则称该点为相平面的奇点；

   相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表明系统在奇点处可以按任意方向趋近或离开奇点，因此，在奇点处，多条相轨迹相交；在相轨迹的非奇点处，不同时满足$\dot{x}=0$和$f(x,\dot{x})=0$，相轨迹切线斜率是一个确定的值，经过普通点的相轨迹只有一条；

   奇点一定位于相平面的横轴上，在奇点处，$\dot{x}=0,\ddot{x}=f(x,\dot{x})=0,$系统运动的速度和加速度同时为零；对于二阶系统来说，系统不再发生运动，处于平衡状态，因此，相平面的奇点亦称为平衡点；

   特征根在$s$平面上的分布决定了系统自由运动的形式，因此，可由此划分线性二阶系统奇点$(0,0)$的类型：

   • 焦点。当特征根为一对具有负实部的共轭复根时，奇点为稳定焦点；当特征根为一对具有正实部的共轭复根时，奇点为不稳定焦点；
   • 节点。当特征根为两个负实根时，奇点为稳定节点；当特征根为两个正实根时，奇点为不稳定节点；
   • 鞍点。当特征根一个为正实根，一个为负实根时，奇点为鞍点；
   • 若线性一阶系统的特征根为负实根(奇点为原点)或线性二阶系统的特征根一个为零根，另一个为负实根时(奇点为横轴)，相轨迹线性收敛；若线性一阶系统的特征根为负实根时或线性二阶系统一个根为零根，另一个根为正实根时，相轨迹线性发散；

   对于常微分方程$\ddot{x}=f(x,\dot{x})$，若$f(x,\dot{x})$解析，设$(x_0,{\dot{x}}_0)$为非线性系统的某个奇点，则可将$f(x,\dot{x})$在奇点$(x_0,{\dot{x}}_0)$处展开成泰勒级数，在奇点的小邻域内，略去$\Delta x=x-x_0$和$\Delta \dot{x}=\dot{x}-{\dot{x}}_0$的高次项，即取一次近似，则得到奇点附近关于$x$增量$\Delta x$的线性二阶微分方程：
   $$\Delta \ddot{x}={\frac{\partial f(x,\dot{x})}{\partial x}|}_{x=x_0,\dot{x}={\dot{x}}_0}\Delta x+{\frac{\partial f(x,\dot{x})}{\partial \dot{x}}|}_{x=x_0,\dot{x}={\dot{x}}_0}\Delta \dot{x}$$

2. 奇线

   奇线是特殊的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的各个区域，最常见的奇线是极限环；由于非线性系统会出现自振荡，因此相应的相平面上会出现一条孤立的封闭曲线，曲线附近的相轨迹都渐近地趋向这条封闭的曲线，或从这条封闭的曲线离开；这条特殊的相轨迹就是极限环，极限环把相平面划分为内部平面和外部平面两部分；

   极限环是相互孤立的，在任何极限环的邻近不可能有其他的极限环，极限环是非线性系统中的特有现象，只发生在非守恒系统中，这种周期运动的原因不在于系统无阻尼，而是系统的非线性特性，它导致系统的能量作交替变化，这样就有可能从某种非周期性的能源中获取能量，从而维持周期运动；

   

   • 图$(\mathrm{a})$：稳定的极限环。当$t\to \infty$时，如果起始于极限环内部或外部的相轨迹均卷向极限环，则该极限环称为稳定的极限环；极限环内部的相轨迹发散至极限环，说明极限环的内部是不稳定的；极限环外部的相轨迹收敛至极限环，说明极限环外部是稳定的；
   • 图$(\mathrm{b})$：不稳定的极限环。当$t\to \infty$时，如果起始于极限环内部或外部的相轨迹均卷离极限环，则该极限环称为不稳定的极限环；极限环内部的相轨迹收敛至环内的奇点，说明极限环的内部是稳定区域；极限环外部的相轨迹发散至无穷远处，说明极限环的外部运动是不稳定区域；
   • 图$(\mathrm{c})$、图$(\mathrm{d})$：半稳定极限环。当$t\to \infty$时，如果起始于极限环内(外)部的相轨迹卷向极限环，而起始于极限环外(内)部的相轨迹卷离极限环，这种极限环称为半稳定极限环；图$(\mathrm{c})$中，其内部和外部都是不稳定区域，极限环所表示的周期运动是不稳定的，系统的运动最终将发散至无穷远处；图$(\mathrm{d})$中，其内部和外部都是稳定区域，极限环所表示的周期运动是稳定的，系统的运动最终将收敛至环内的奇点；

3. 实例分析

   Example1： 已知非线性系统的微分方程为：
   $$\ddot{x}+0.5\dot{x}+2x+x^2=0$$
   求系统的奇点。

   解：

   系统相轨迹微分方程为：
   $$\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=\frac{-(0.5\dot{x}+2x+x^2)}{\dot{x}}$$
   令$\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=\frac{0}{0}$，求得系统的两个奇点：
   $$\{\begin{array}{ll}& x_1=0\\ & {\dot{x}}_1=0\end{array}，\{\begin{array}{ll}& x_2=-2\\ & {\dot{x}}_2=0\end{array}$$
   计算各奇点处的一阶偏导数及增量线性化方程：

   奇点$(0,0)$处：
   $${\frac{\partial f(x,\dot{x})}{\partial x}|}_{x=0,\dot{x}=0}=-2,{\frac{\partial f(x,\dot{x})}{\partial \dot{x}}|}_{x=0,\dot{x}=0}=-0.5$$
   可得：
   $$\Delta \ddot{x}+0.5\Delta \dot{x}+2\Delta x=0$$
   特征根为：$s_{1,2}=-0.25\pm \mathrm{j}1.39$，因此，奇点$(0,0)$为稳定焦点；

   奇点$(-2,0)$处：
   $${\frac{\partial f(x,\dot{x})}{\partial x}|}_{x=-2,\dot{x}=0}=2,{\frac{\partial f(x,\dot{x})}{\partial \dot{x}}|}_{x=-2,\dot{x}=0}=-0.5$$
   可得：
   $$\Delta \ddot{x}+0.5\Delta \dot{x}-2\Delta x=0$$
   特征根为：$s_1=1.19,s_2=-1.69$，因此，奇点$(-2,0)$为鞍点；

2.5 非线性系统的相平面分析实例

• 常见非线性特性多数可用分段直线来表示，或者本身就是分段线性的；
• 对于含有这些非线性特性的一大类非线性系统，由于不满足解析条件，无法采用小扰动线性化方法；
• 可根据非线性的分段特点，将相平面分成若干区域进行研究，可使非线性微分方程在各个区域表现在线性微分方程，再应用线性系统的相平面分析方法；
• 这一类非线性特性曲线的折线的各转折点，构成了相平面区域的分界线，称为开关线；

【具有死区特性的非线性控制系统实例分析】

实验要求：设系统结构如下图所示，系统初始状态为零，输入$r(t)=R\cdot 1(t)$；

根据上图，可列写系统的微分方程：
$$T\ddot{c}(t)+\dot{c}(t)=Km(t)$$

$$m(t)=\{\begin{array}{ll}k[e(t)+\Delta ],& e(t)\le -\Delta \\ 0,& |e(t)|<\Delta \\ k[e(t)-\Delta ],& e(t)\ge \Delta \end{array}$$

取$e(t),\dot{e}(t)$作为状态变量，按特性曲线分区域列写微分方程：

• 区域Ⅰ：$T\ddot{e}(t)+\dot{e}+Kke=T\ddot{r}+\dot{r}-Kk\Delta ,e\le -\Delta$；
• 区域Ⅱ：$T\ddot{e}(t)+\dot{e}=T\ddot{r}+\dot{r},|e|<\Delta$；
• 区域Ⅲ：$T\ddot{e}(t)+\dot{e}+Kke=T\ddot{r}+\dot{r}+Kk\Delta ,e\ge \Delta$；

$e=-\Delta$和$e=\Delta$为死区特性的转折点，亦为相平面的开关线；

代入$r(t)$形式，因为$\ddot{r}(t)=\dot{r}(t)=0$，整理可得：

• 区域Ⅰ：$T(e+\Delta {)}^{\prime \prime }+(e+\Delta {)}^{\prime }+Kk(e+\Delta )=0,e\le -\Delta$；
• 区域Ⅱ：$T\ddot{e}+\dot{e}=0,|e|<\Delta$；
• 区域Ⅲ：$T(e-\Delta {)}^{\prime \prime }+(e-\Delta {)}^{\prime }+Kk(e-\Delta )=0,e\ge \Delta$；

若给定参数$T=1,Kk=1$，根据线性系统相轨迹分析结果，可得奇点类型：

• 区域Ⅰ：奇点$(-\Delta ,0)$为稳定焦点，相轨迹为向心螺旋线；
• 区域Ⅱ：奇点$(x,0)，x\in (-\Delta ,\Delta )$，相轨迹沿直线收敛；
• 区域Ⅲ：奇点$(\Delta ,0)$为稳定焦点，相轨迹为向心螺旋线；

2.6 MATLAB/SIMULINK在相轨迹图绘制中的应用

2.6.1 实战1：采用MATLAB绘制相轨迹图

实验要求：已知一个二阶线性系统的微分方程为：$\ddot{x}+ax=0,a>0,x(t_0)=x_0,\dot{x}(t_0)={\dot{x}}_0$，其中：$a=2$，使用$\mathrm{MATLAB}$函数绘制系统的相平面图和零输入响应曲线。

解：

取状态变量：$x_2=x,x_1=\dot{x}$，可得系统状态空间模型，即一阶常微分方程组：
$$\{\begin{array}{ll}& {\dot{x}}_2=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=x_1\\ & \\ & {\dot{x}}_1=\ddot{x}=-a{x}_2\end{array}$$

% 实例Chapter10.2.6.1子函数
% derivativesFunc.m文件
function xdot=derivativesFunc(t,x)          % 求取状态导数的函数
xdot=[-2*x(2);x(1)];

% 实例Chapter10.2.6.1主函数
clc;clear;

% 初始化状态变量为：[0,1]，计算时间为：[0,20];
[t,x]=ode45('derivativesFunc',[0,20],[0,1]);

% 初始化状态变量为：[1,1]，计算时间为：[0,20];
[t1,x1]=ode45('derivativesFunc',[0,20],[1,1]);

% 绘制相轨迹，相轨迹中的两条
figure(1);
plot(x(:,1),x(:,2),'r',x1(:,1),x1(:,2),'b');

xlabel('x');ylabel('dx/dt');grid;
legend('x','x1');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('控制系统的相轨迹','FontSize',15);

% 绘制系统时域响应图
figure(2);
plot(t,x(:,2),'r',t1,x1(:,2),'b');

xlabel('t');ylabel('x(t)');grid;
legend('x','x1');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('控制系统的时域响应图','FontSize',15);

【相轨迹图】

【系统时域响应图】

2.6.2 实战2：采用MATLAB绘制相轨迹图

实验要求：已知一个二阶非线性系统的微分方程为：$\ddot{x}+(x^2-1)\dot{x}+x=0,x(0)=2,\dot{x}(0)=3$，使用$\mathrm{MATLAB}$函数绘制系统的相平面图。

解：

取状态变量：$x_2=x,x_1=\dot{x}$，得到系统状态方程模型，即一阶常微分方程组：
$$\{\begin{array}{ll}& {\dot{x}}_2=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=x_1\\ & \\ & {\dot{x}}_1=\ddot{x}=x_1(1-x_2^2)-x_2\end{array}，\{\begin{array}{ll}& x_2(0)=2\\ & \\ & x_1(0)=3\end{array}$$

% 实例Chapter10.2.6.2子函数
% derivativesFunc2.m文件
function xdot=derivativesFunc2(t,x)          % 求取状态导数的函数
xdot=[x(1)*(1-x(2)^2)-x(2);x(1)];

% 实例Chapter10.2.6.2主函数
clc;clear;

% 初始化状态变量为：[0,1]，计算时间为：[0,20];
[t,x]=ode45('derivativesFunc2',[0,20],[3,2]);

% 绘制相轨迹
figure(1);
plot(x(:,1),x(:,2));

xlabel('x');ylabel('dx/dt');
axis([-4,4,-4,4]);grid;
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('控制系统的相轨迹','FontSize',15);

2.6.3 实战3：采用SIMULINK绘制相轨迹图

实验要求：已知一个非线性控制系统如下图所示，输入为零初始条件，线性环节为：$G(s)=\frac{K}{s(Ts+1)}$，其中：$T=1，K=4，N$为理想饱和非线性，其中：$y=\{\begin{array}{llc}& -0.2,& x<-0.2\\ & x,& |x|\le 0.2\\ & 0.2,& x>0.2\end{array}$，系统的初始状态为$0$，求：

1. 在$e-\dot{e}$平面上绘制相轨迹；
2. 绘制$e(t)、c(t)$的时间响应波形；

解：

取状态变量$e(t)$和$\dot{e}(t)$，建立$\mathrm{SIMULINK}$模型：

# SIMULINK模型建立
# 所需模块：
source模块库下的Step模块；
Sinks模块库下的Scope模块；
Sinks模块库下的XY Graph模块；
Math Operations模块库下的Add模块；
Continuous模块库下的Transfer Fcn模块；
Continuous模块库下的Derivative模块；
Discontinuties模块库下的Saturation模块；

# Saturation模块设置限幅[-0.2,0.2]；
# Model Simulation Configuration Parameters/Solver中设置Type为"Fixed Step"；
# "Fixed Step Size"设置为：0.05，"Stop Time"设置为40；

【相轨迹】

【$c(t)$时间响应波形图】

【$e(t)$时间响应波形图】