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前言
在上一节我们提到了关系型数据库和非关系型数据库之间的关系，我们主要以MySQL关系型数据库为主展开。关系模型是建立在集合代数的基础上的，我们从集合论的角度给出关系数据结构的形式化的定义。
注：博客内标蓝色背景的是教材原话，黄色背景的是博主自己理解的加注，绿色背景的为引用。
基础名词
关系
定义：
D1xD2xD3x...xDn的子集叫做在域D1、D2、...、Dn上的关系，表示为 R（D1，D2，...，Dn）
这里R是关系的名字，n是关系的目或者度。
n目关系必有n种属性。
这里的D不是属性，只是R中的元素，属性是D的再分。
例如：R（AB，B，BC），属性是A、B、C
候选码
某一属性组的值能够唯一地标识一个元组，而其子集不能，则称该属性组为候选码。
上句话的意思是关系R里面的每一个属性或者元素都可以用候选码推出。
候选码的属性称为主属性。
不包含在候选码里面的属性称为非主属性。
关系运算
注：每一种关系运算均可以用SQL语句来实现。
传统的集合计算（二目运算）
（1）并
R ∪ S = {t | t ∈ R ∨ t ∈ S}
（2）差
R - S = {t | t ∈ R ∧ t
S}
（3）交
R ∩ S = {t | t ∈ R ∧ t ∈ S}
R ∩ S = R -（R - S）
（4）笛卡儿积
R x S = {tr ts | tr ∈ R ∧ ts ∈ S}
例如：R（a，b） S（c，d）
R x S = {(a, c),(a, d),(b, c),(b, d)}
其中（a，c）等也成为元组，该元组中a、c分别叫做该元组的分量。
样例表创建【SQL】
（1）创建数据库sqlstudy
（2）在数据库sqlstudy下面创建表students
（3）students表内有sno、sname、sage三个字段
（4）现保存两位同学的信息：（'123456789','aaa',12），('111111111', 'bbb', 13)
create database sqlstudy;
use sqlstudy;
create table students(
sno char(9) primary key,
sname char(20),
sage int
);
insert
into students
values('123456789','aaa',12);
insert
into students
values('111111111', 'bbb', 13);
select * from students;注：这里的SQL不用记，只是方便演示效果，SQL语句后面会逐一讲解。
专门的关系运算
（1）选择
选择又称为限制。它是在关系R中选择满足给定条件的诸元组。
δF（R） = {t | t ∈ R ∧ F(t)='真'}
其中F表示选择条件，它是一个逻辑表达式，取逻辑值“真”或“假”。
例如：查询所有年龄大于10岁的学生。
δ sage > 10 (students)
SQL语句：
select *
from students
where sage > 10;总结 ：
选择是找出满足条件的所有学生的所有信息。 是行查询操作。
（2）投影
关系R上的投影是从R中选择出若干属性列组成新的关系。投影操作是从列的角度进行的运算。
ПA（R） = {t[A] | t ∈ R}
例如：查询学生关系students中都有哪些人（姓名）。
Пsname（students）
SQL语句：
select sname
from students;
总结 ：
投影操作是从列的角度进行的运算。
（3）连接
连接也称为θ连接。它是从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组。
θ为“=”的连接运算称为等值连接。
自然连接：
两个关系中进行比较的分量必须是同名的属性组，并且在结果中把重复的属性列去掉。
自然连接是一种特殊的等值连接。
总结：
连接是建立在多张数据库表的基础上。通过连接可以将多张表的数据通过共同的字段进行拼接，且拼接后的表去掉了重复字段的称为自然连接。
SQL语句：
create table homes
(
sno char(9) primary key,
shome char(20)
);
insert
into homes
values('123456789','hahaha');
insert
into homes
values('111111111', 'xixixi');
select *
from homes, students
where homes.sno=students.sno;
以上情况是两个表的数据正好一一对应，如果此时我再向表中再加入一个数据：
insert
into homes
values('222222222', 'lalala');
select *
from homes;此时在做连接：
select *
from homes, students
where homes.sno=students.sno;
注：可以看到新加入的一行数据并没有在连接里面出现，因为students表里面并没有这个学生的信息。 我们把这个被舍弃的元组（一行数据）称为悬浮元组。
悬浮元组：
两个关系R和S在做自然连接时，选择两个关系再公共属性上值相等的元组构成新的关系。此时，关系R中某些元组有可能在S中不存在公共属性上值相等的元组，从而造成R中这些元组在操作时被舍弃了。这些被舍弃的元组称为悬浮元组。
外连接：
如果把悬浮元组也保存在结果关系中，而在其他属性上填空值（NULL），那么这种连接就叫做外连接。
左外连接：
只保留左边关系R的悬浮元组，其他地方写空值。
右外连接：
只保留右边关系S的悬浮元组，其他地方写空值。
注：SQL可以通过outer join on等关键字实现外连接来保留悬浮元组，详细内容会在之后的章节在说明。这里只做大概的说明。
（4）除运算
设关系R除以关系S的结果为关系T，则T包含所有在R但不在S中的属性以及值，且T的元组与S的元组的所有组合都在R中。
R ÷ S = {tr[X] | tr ∈ R ∧ Пy（S）
Yx}
其中Yx为x在R中的象集
注：
（1）除是同时从行和列角度进行运算的。
（2）交、连接、除均可以用并、差、笛卡尔积、选择和投影这五种基本运算来表达，通常我们在计算除法的时候都会将其转换为基本运算式。
从集合论上进行举例：
| A | B | C |
| a1 | b1 | c2 |
| a2 | b3 | c7 |
| a3 | b4 | c6 |
| a1 | b2 | c3 |
| a4 | b6 | c6 |
| a2 | b2 | c3 |
| a1 | b2 | c1 |
| B | C | D |
| b1 | c2 | d1 |
| b2 | c1 | d1 |
| b2 | c3 | d2 |
| A |
| a1 |
计算步骤：
（1）找到公共属性列（B、C）
（2）计算关系R里面不是公共属性列（A）的所有取值（a1,a2,a3,a4）。
（3）分别计算步骤（2）得到结果的象集 ：
a1象集：{（b1, c2），（b2, c3），（b2, c1）}
a2象集：{（b3, c7），（b2, c3）}
a3象集：{（b4, c6）}
a4象集：{（b6, c6）}
（4）计算S在（B，C）上的投影：{（b1, c2），（b2, c1），（b2, c3）}
（5）因为a1的象集 S在（B，C）上的投影，故结果为a1。
从SQL语句上进行举例：（通过SQL语句实现除法运算会涉及部分新的知识点在后面，可以先看后面的章节，再回来学习SQL的除法运算）
R(X，Y)
S(Y，Z)
select distinct R.X from R R1
where not exists
(
select S.Y from S
where not exists
(
select * from R R2
where R2.X=R1.X and R2.Y=S.Y
)
)；后记
销毁已经创建的表
drop table homes；
drop table students；注：这里销毁已经创建的表是为了之后的章节可以独立于之前的章节，避免小伙伴们找不到例题中的表。